Практическое моделирование

и другие вопросы разработки нефтяных месторождений
fundamental

Записки на полях тетради. Дебит ГС, продолжение.

Теперь рассмотрим подробнее начальный период работы скважины,

При закачке нефти, горизонтальная часть ствола работает как вертикальная скважина. Два окончания ствола, формируют вокруг себя две сферические области фильтрации. Несколько забегая вперед, потери давления на преодоления сферического потока меркнут на фоне потерь давления от радиального потока горизонтальной части ствола, поэтому их учитывать не станем.

В момент касания кровли и подошвы пласта, дебит скважины,

\displaystyle q = 2 \pi \cdot \frac{k \cdot L }{\mu} \cdot (p^*-p_w) \cdot \frac{1}{ln(r^* / r_w)}

где,

\displaystyle r^* = \frac{h}{2}

Попробуем подставить уточненное фильтрационное сопротивление в итоговое уравнение, полученное в прошлой заметке

\displaystyle q =2 \pi \cdot \frac{kh}{\mu} \cdot (p-p_w) \left ( \frac{L}{\pi \cdot r} + \frac{1}{ln(r/r_w)} \right )

Так как для линейного потока уменьшение пройденного расстояния на величину r^* почти не сказывается на полном сопротивлении движению до контура питания, записанные в правой части сопротивления линейного и радиального потока останутся без изменений.

Уточнение тогда, будет касаться только величины забойного давления,

\displaystyle p_w = p^*

Приравняем две записи дебита,

\displaystyle 2 \pi \cdot \frac{kh}{\mu} \cdot (p-p^*) \left ( \frac{L}{\pi \cdot r} + \frac{1}{ln(r/r_w)} \right )=2 \pi \cdot \frac{k \cdot L }{\mu} \cdot (p^*-p_w) \cdot \frac{1}{ln(r^* / r_w)} \displaystyle (p-p^*) \left ( \frac{L}{\pi \cdot r} + \frac{1}{ln(r/r_w)} \right )=\frac{L }{h} \cdot (p^*-p_w) \cdot \frac{1}{ln(r^* / r_w)}

проведем временные замены,

\displaystyle a = \frac{L}{\pi \cdot r} + \frac{1}{ln(r/r_w)}, b = \frac{L}{h} \cdot \frac{1}{ln(r^* / r_w)}

Давление на границе смены режима фильтрации, есть взвешенная величина между пластовым и забойным давлением

\displaystyle p^* = \frac{a \cdot p + b \cdot p_w}{a + b}

Дополнительные потери давления за счёт учёта радиальной фильтрации вблизи ствола ГС, будут примерно равны,

\displaystyle \Delta p = p^* - p_w

Подставляя назад найденные зависимости,

\displaystyle q =2 \pi \cdot \frac{kh}{\mu} \cdot (p-\frac{a \cdot p + b \cdot p_w}{a + b} ) \cdot a

Получим итоговое уравнение притока жидкости к ГС, в изотропном пласте,

\displaystyle q =2 \pi \cdot \frac{kh}{\mu} \cdot (p-p_w) \cdot \frac{a\cdot b}{a + b}

Новое уравнение представлено линией OilSim2, по которому рассчитанные дебиты чуть меньше прошлого варианта.

Теперь перейдем к учёту анизотропии.

Анизотропия проницаемости проявляется в различии проницаемости в вертикальной и горизонтальной проекции. Учесть анизотропию можно следующим образом. При установившемся режиме скорость движения по всем направлениям постоянна во времени,

\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z} = 0

Скорость конечно же это уравнение Дарси,

\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \left (\frac{k_x}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x} \right ) + \frac{\partial}{\partial y} \left (\frac{k_y}{\mu} \frac{\partial p}{\partial y} \right )+ \frac{\partial v}{\partial z} \left (\frac{k_z}{\mu} \frac{\partial}{\partial z} \right )= 0

Проницаемость можно вынести за знак производной и сократить вязкость,

\displaystyle k_x \, \frac{\partial p}{\partial x^2} + k_y \, \frac{\partial p}{\partial y^2} + k_z \, \frac{\partial p}{\partial z^2}= 0

По направлению x и y проницаемости равны, поэтому поделив всё на проницаемость получим,

\displaystyle \frac{\partial p}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial y^2} + \frac{k_z}{k_x} \, \frac{\partial p}{\partial z^2}= 0

Особенность учёта анизотропии скапливается около последнего члена уравнения. Проведем замену, чтобы вернутся опять к форме уравнения для изотропного пласта,

\displaystyle \frac{\partial p}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial y^2} + \frac{\partial p}{\partial z_*^2}= 0 \displaystyle z_*^2 = z^2 \cdot \frac{k_x}{k_z} \displaystyle z_* = z \cdot \sqrt {\frac{k_x}{k_z}}

Значит для перехода к анизотропному пласту, следует для начала увеличить вертикальные размеры пласта в \beta раз,

\displaystyle \beta = \sqrt {\frac{k_x}{k_z}}

Скорость фильтрации, в вертикальном направлении для изотропного пласта,

\displaystyle v_z = \frac{k_x}{\mu} \cdot \frac{dp}{dz}

Для анизотропного пласта,

\displaystyle v_z^* = \frac{k_x}{\mu} \cdot \frac{dp}{\beta \cdot dz}

Возвращаясь к началу этой записи, перепишем уравнение для дебита в момент касания кровли и подошвы с учетом анизотропии, понизив вертикальную проницаемость и увеличив толщину пласта,

\displaystyle q = 2 \pi \cdot \frac{k \cdot L }{\beta \mu} \cdot (p^*-p_w) \cdot \frac{1}{ln(r^* / r_w)}

Повторяя вывод формул, получим следующую формулу для расчета дебита ГС в анизотропном пласте,

\displaystyle r^* = \frac{\beta \cdot h}{2} \displaystyle a = \frac{L}{\pi \cdot r} + \frac{1}{ln(r/r_w)}, b = \frac{L}{\beta \cdot h} \cdot \frac{1}{ln(r^* / r_w)} \displaystyle q =2 \pi \cdot \frac{kh}{\mu} \cdot (p-p_w) \cdot \frac{a\cdot b}{a + b} \cdot \frac{1}{b_o}

С учетом объемного коэффициента перевода дебита из пластовых в поверхностные условия.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *