Анализ размерностей и подобие

Физические величины выражаются числами, которые получаются путем измерения — прямого или косвенного сравнения с существующими единицами измерения. Совокупность основных единиц измерения называется системой единиц измерения.

Если системы измерения отличаются друг от друга только величиной основных единиц измерения, говорят что такие системы образуют один общий класс систем измерения.

В механике жидкости обычно используют класс систем единиц измерения обозначаемую $MLT\Theta$ , состоящий из четырех основных единиц измерения: $M$ массы, $L$ длины, $T$ времени и $\Theta$ температуры.

При выборе вместо массы, основой единицы измерения силы $F$ образуется другой класс систем единиц измерения $FLT\Theta$ .

Размерностью физической величины называется функция определяющая во сколько раз изменится численное значение величины при переходе от исходной системы единиц измерения к другой системе внутри одного класса.

Размерность величины $\varphi$ принято обозначать через $[ \varphi ]$ .

Приведем примеры размерности разных величин.

Скорость

$[v] = \frac{length}{time} = LT^{-1}$

Ускорение,

$[a] = \frac{speed}{time} = \frac{LT^{-1}}{T} = LT^{-2}$

Сила,

$[F] = m \cdot a = MLT^{-2}$

Давление,

$[p] = \frac{force}{area} = \frac{MLT^{-2}}{L^{2}} = ML^{-1}T^{-2}$

Во всех этих случаях размерность произвольной физической величины $[Q]$ представляет собой степенной одночлен из основных единиц измерения,

$[Q] = M^{\alpha}L^{\beta}T^{\gamma}$

Из правила сложения одночленов возникает очевидный принцип однородности размерностей, который требует чтобы каждое слагаемое и возникающее равенство имело одинаковые размерности.

Говорят, что величины имеют зависимые размерности, если размерность одной из этих величин, можно представить в виде произведения степеней остальных величин.

Например, размерность плотности $ML^{-3}$ , скорости $LT^{-1}$ и давления $ML^{-1}T^{-2}$ зависимы, так как давление можно представить как произведение из плотности и скорости,

$ML^{-1}T^{-2} = ML^{-3} \cdot (LT^{-1})^2 = [\rho] \cdot [v] ^ 2$

И наоборот, размерность плотности $ML^{-3}$ , скорости $LT^{-1}$ и силы $MLT^{-2}$ независимы,

$MLT^{-2} = ML^{-3} \cdot (LT^{-1})^3 \neq MLT^{-3}$

Анализ размерностей

Закономерности определяемые в физической теории всегда можно представить в виде,

$a = f(a_1, ..., a_k, a_{k+1}, ... , a_n)$

причем первые определяющие параметры $a_1, ..., a_k$ имеют независимые размерности, а следующие $a_{k+1}, ... , a_n$ имеют размерности зависимые от первых, то есть могут быть выражены через независимые параметры в некоторых степенях.

$[a_{k+1}] = [a_1]^{p_{k+1}}...[a_k]^{r_{k+1}}$

$[a_{n}] = [a_1]^{p_{n}}...[a_k]^{r_{n}}$

Размерность определяемой величины также выражается через размерности параметров независимых параметров,

$[a] = [a_1]^{p}...[a_k]^{r}$

Зависимые параметры можно свернуть в безразмерные комплексы,

$\Pi_1 = \frac{a_{k+1}}{a_1^{p_{k+1}}...a_k^{r_{k+1}}}$

$\Pi_{n-k}=\frac{a_{n}}{a_1^{p_{n}}...a_k^{r_{n}}}$

Также в комплекс сворачивается и определяемая величина,

$\Pi=\frac{a}{a_1^{p}...a_k^{r}}$

Теперь исходную функцию можно записать как,

$\Pi=F(a_1, ..., a_k, \Pi_1, ... , \Pi_{n-k})$

В такой записи при изменении системы единиц, поменяются числовые значения независимых переменных $a_1, ..., a_k$ , а все остальные аргументы функции остаются неизменными, также как и её значение $\Pi$ .

Следовательно на самом деле функцию можно представить как,

$\Pi=\Phi(\Pi_1, ... , \Pi_{n-k})$

Этот факт составляет содержание Пи-теоремы, явно сформулированной и доказанной по-видимому впервые Э.Бакингамом (Buckingham pi theorem).

Анализ размерностей с большой пользой применяется при предварительном анализе физических явлений и при обработке данных экспериментов.

Предположим для примера, что сила действующая на погруженное в жидкость тело $F$ зависит только от длины тела $L$ , скорости потока $v$ , плотности жидкости $\rho$ и вязкости жидкости $\mu$ , так что

$F=f(L, v, \rho, \mu)$

Пусть также геометрия тела и условия течения настолько сложны, что невозможно найти аналитическое решение. В этом случае функция $f(L, v, \rho, \mu)$ устанавливается экспериментальным путем.

Предположим, что каждая переменная потребует десяти определений, что в целом приводит к необходимости проведения $10^n = 10 000$ экспериментов.

Согласно $\Pi$ теореме, дело сводится к определению функции $n-k$ безразмерных аргументов $\Pi_1..\Pi_{n-k}$ , для нахождения которых достаточно $10^{n-k}$ опытов, то есть в $10^k$ раз меньше.

В нашем примере $\rho$ , $v$ и $L$ образуют группу независимых переменных, поэтому вместо изучения исходной функции можно перейти к безразмерной функции,

$\frac{F}{\rho \cdot v^2 \cdot L^2}=g\left (\frac{\rho V L }{\mu}\right )$

В ходе проведения эксперимента теперь не потребуется модели 10 разных тел погруженных в жидкость из 100 комбинаций плотности и вязкости. Останется провести только 10 экспериментов по изучению комплекса,

$g\left (\frac{\rho V L }{\mu}\right )$

Стало быть трудоемкость определения искомой функции сокращается на столько порядков, сколько среди определяющих параметров найдется величин с независимыми параметрами.

Тривиальные казалось бы соображения анализа размерностей могут дать вполне содержательные результаты. Важнейшим элементом при этом является правильный выбор совокупности определяющих параметров, которая находится просто, если имеется математическая формулировка задачи. Правильный выбор определяющих параметров в задаче, не имеющей явной математической формулировки, связан прежде всего с интуицией исследователя.

Подобие

В большинстве случаев, прежде чем изготовлять какое-либо дорогостоящее и крупное сооружение, например корабль или самолет, для получения наилучших его характеристик в предстоящих условиях работы прибегают к испытаниям на моделях — моделированию. При моделировании надо знать, как пересчитать результаты опыта с модели на натуру. Если этого не знать, моделирование бесполезно.

Понятие физического подобия естественно обобщает понятие геометрического подобия. Явления называются подобными, если они отличается только численными значениями определяющих параметров и притом так, что для них безразмерные величины $\Pi_1...\Pi_{n-k}$ совпадают.

Поэтому безразмерные величины $\Pi_1...\Pi_{n-k}$ называются параметрами подобия.

Рассмотрим два подобных явления, одно из которых будем называть натурным (N), а другое модельным (M). Для обоих явлений имеет место некоторая зависимость вида,

$a = f(a_1, ..., a_k, a_{k+1}, ... , a_n)$

причем функция $f$ в обоих случаях одна и таже, но численные значения определяющих параметров у них разные. Из анализа размерностей, следует что

$\Pi^N=\Phi(\Pi^N_1, ... , \Pi^N_{n-k})$

$\Pi^M=\Phi(\Pi^M_1, ... , \Pi^M_{n-k})$

По определению подобных явлений безразмерные параметры подобия равны друг другу.

Вспоминая что,

$\Pi=\frac{a}{a_1^{p}...a_k^{r}}$

получим простое правило пересчета результатов измерения с подобной модели на натурное явление,

$\frac{a^N}{(a^N_1)^{p}...(a^N_k)^{r}}=\frac{a^M}{(a^M_1)^{p}...(a^M_k)^{r}}$

$a^N=a^M \cdot \left (\frac{a^N_1}{a^M_1} \right)^p...\left (\frac{a^N_k}{a^M_k} \right )^r$

И вспоминая, что

$\Pi_1 = \frac{a_{k+1}}{a_1^{p_{k+1}}...a_k^{r_{k+1}}}$

$\Pi_{n-k}=\frac{a_{n}}{a_1^{p_{n}}...a_k^{r_{n}}}$

получим указание как надо выбирать определяющие параметры модели $a_{k+1}, ... , a_n$ , чтобы обеспечить подобие модели натуре,

$a^M_{k+1}=a^N_{k+1} \cdot \left (\frac{a^M_1}{a^N_1} \right )^p...\left (\frac{a^M_k}{a^N_k} \right )^r$

Возвращаясь к задаче о погруженном теле в поток жидкости,

$\frac{F}{\rho \cdot v^2 \cdot L^2}=g\left (\frac{\rho V L }{\mu}\right )$

Помимо очевидных геометрических параметров подобия, имеется только один динамический, для обеспечения подобия необходимо соблюсти равенство этого параметра для модели и натуры.

$\Pi_1 = \frac{\rho V L }{\mu}$

Этот параметр был назван числом Рейнольдса.

$\Pi_1 = Re$

При моделировании, когда отсутствует точная математическая формулировка задачи, самое главное выбрать систему определяющих параметров. Нередко поступают так. Берут в качестве определяющих параметров все величины, которые могут (по мнению исследователя) оказывать влияние на явление.

В качестве определяющих независимых параметров принимают заведомо существенные определяющие параметры, а при выборе остальных смотрят на численное значение соответствующих параметров подобия $\Pi_i$ .

Если эти значения очень малы или очень велики, соответствующий размерный параметр $a_{k+i}$ считается несущественным и отбрасывается.

Действительно, во многих случаях так поступать можно. Однако важно помнить, что это вообщем говоря не так, и к подобному рассуждению надо относится осторожно.

Ниоткуда не следует, что функция

$\Pi=\Phi(\Pi_1, ... , \Pi_{n-k})$

стремится к определенному пределу при больших или малых значениях $\Pi_i$ .

Текст почти полностью приведен по Г.И.Баренблатт «Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика», 1982 с небольшим дополнением из «Fluid Mechanics», White.

Практическое моделирование

Добавить комментарий Отменить ответ

Комментарии

Архивы