Комплексные числа, функции и вычеты

Комплексным числом называется выражение , где и это вещественные числа, а мнимая единица обладает свойством . Арифметика комплексных чисел определяется привычным образом, Равенство, , только когда и Сложение, Умножение, Комплексная плоскость позволяет представить комплексное число как точку прямоугольной, декартовой системы координат. Горизонтальная ось называется реальной осью (Re), а вертикальная ось соответственно мнимой осью (Im). Комплексное […]

Уравнение Бесселя

При решении многих задач математической физики приходят к линейному уравнению Бесселя,     Решение уравнения следует искать не в форме степенного ряда, а в виде произведения некоторой степени на степенной ряд,     которое можно переписать в виде,     Найдем производные,         Подставим в уравнение,     Раскроем первые несколько членов, […]

Ряд Тейлора

Определение Предположим, что функция имеет непрерывную производную порядка в интервале , тогда интегрирование даст следующее понижение порядка,     Повторим интегрирование полученного результата,         И еще раз,         Наконец, после кратного интегрирования можно добраться и до самой функции,     Вложенный интеграл слева называется остаточным членом,     Привлекая […]

Преобразование Лапласа

Эта заметка является переводом главы из прекрасной книги «Advanced Engineering Mathematics (7th edition)» by Peter V. O’Neil Определение Преобразование Лапласа функции определяется как,     Интегрирование проводится по переменной и определяет новую функцию с переменной , которая выбирается таким образом, чтобы интеграл сходился. Для сокращения нотации, вместо будем иногда использовать заглавную букву функции. Например, преобразование […]