Практическое моделирование

и другие вопросы разработки нефтяных месторождений
,,^.^,,

Вывод формулы дебита горизонтальной скважины

В своей статье «Augmentation of Well Productivity With Slant and Horizontal Wells» (1988) Joshi S.D. представил самую известную наверное формулу для расчета дебита горизонтальной скважины и оставил в тексте статьи любопытную запись о том, что задолго до его работы в 1964 году Борисов Юрий Павлович сообщил о формуле расчета дебита нефтяной горизонтальной скважины, но к глубокому сожалению, Юрий Павлович вывода уравнения не привёл.

§1 Метод фильтрационных сопротивлений Борисова

Начать свою заметку мне бы хотелось с ещё более ранней работы Борисова «Определение дебита скважин при совместной работе нескольких рядов скважин» (1951). Юрий Павлович при рассмотрении скважины расположенной в бесконечном ряду добывающих скважин на некотором расстоянии от контура питания, вывел следующую формулу,

если расстояние до контура питания больше чем половина расстояния между скважинам, формулу можно упростить,

и переписать формулу следующим образом,

\displaystyle p - p_w = q \cdot \left [ \left ( \frac{\mu}{kh} \right ) \frac{L}{2\sigma} + \frac{1}{2\pi} \left ( \frac{\mu}{kh} \right ) ln \left (\frac{\sigma}{\pi r_w} \right) \right ]

Борисов назвал потери давления при линейной фильтрации жидкости, внешним фильтрационным сопротивлением,

\displaystyle \Omega = \left ( \frac{\mu}{kh} \right ) \frac{L}{2\sigma}

и потери давления в прискважинной зоне, внутренним фильтрационным сопротивлением,

\displaystyle \omega = \frac{1}{2\pi} \left ( \frac{\mu}{kh} \right ) ln \left (\frac{\sigma}{\pi r_w} \right)

Геометрическая трактовка внутреннего фильтрационного сопротивления выглядит следующим образом. При переходе от линейной фильтрации к радиальной, периметр эквивалентного радиуса контура, на котором можно считать фильтрацию радиальной, равен длине галереи.

Борисов предположил, что и в более сложных условиях установившихся течений, фактические фильтрационные сопротивления можно разложить на внешние и внутренние фильтрационные сопротивления.

§2 Приближенная формула Борисова

Для горизонтальной скважины Ю.П.Борисов и В.П.Табаков решили дать простые и более удобные для расчета приближенные формулы, обладающие тем не менее вполне удовлетворительной точностью.

Фильтрационное сопротивление горизонтальной скважины, представляется суммой внешнего фильтрационное сопротивления от контура питания до вертикальной трещины, вскрывающей пласт на всю толщину и внутреннего фильтрационного сопротивления, представляя горизонтальный ствол как развернутую вертикальную скважину.

Внешнее фильтрационное сопротивление определяется по одной из формул приведенных у Musket (1949),

Из которого внешнее сопротивление выражается как,

\displaystyle \Omega = \frac{1}{2\pi} \left ( \frac{\mu}{kh} \right ) ln \left (\frac{a+\sqrt{a^2-(L/2)^2}}{L/2} \right)

Если длина скважины значительно меньше расстояния до контура питания,

\displaystyle \frac{L}{2a} \ll 1

тогда форма контура питания перестает играть существенную роль и запись можно упростить,

\displaystyle \Omega = \frac{1}{2\pi} \left ( \frac{\mu}{kh} \right ) ln \left (\frac{4a}{L} \right)

Внутреннее сопротивление горизонтальной скважины записывается как,

\displaystyle R=\frac{h}{2\pi} \displaystyle \omega = \frac{1}{2\pi} \left ( \frac{\mu}{kL} \right ) ln \left (\frac{h}{2\pi r_w} \right)

Итоговая формула Борисова для определения дебита горизонтальной скважины записана как,

\displaystyle \frac{p - p_w}{q} = \frac{1}{2\pi} \left ( \frac{\mu}{kh} \right ) \left [ ln \left (\frac{4 R_e}{L} \right) + \frac{h}{L} \cdot ln \left (\frac{h}{2\pi r_w} \right) \right ]

Щуров Виктор Иванович в 1952 году на электролитической модели построил графики зависимости дебита горизонтальной скважины от различных параметров пласта. Борисов приводит сравнение с данными Виктора Ивановича и Меркулова, и делает вывод о том, что расхождение между аналитической формулой и замерами на аналоговой модели не превышает 2%.

§3 Французский след

Через почти 30 лет после работ Борисова, в 1980 Французский Институт Нефти (IFP) переводит на французский язык книгу, получившей название «Exploitation des gisements de petrole par des puits orizontaux et a deviations multiples».

На основе изучения советского опыта, французский специалист F.M.Giger публикует большое количество статей, описывая метод Борисова и Меркулова,

«Reduction du nombre de puits par l`utilisation de forages horizontaux», 1983
«The Reservoir Engineering Aspects of Horizontal Drilling», 1984
«Horizontal Wells Production Techniques in Heterogeneous Resevoir» 1985
«Low-Permeability Reservoirs Development Using Horizontal Wells» 1987

Для ответа на вопрос, почему IFP заинтересовался советскими публикациями о расчете дебитов скважин, обратимся к истории развития горизонтального бурения.

После проведения в СССР успешных экспериментальных работ по бурению двух дополнительных стволов длиной 30 и 35 метров в 1947 году, группа работников начала разрабатывать специальную технику и технологию бурения многозабойных горизонтальных скважин. Большой вклад в развитии был сделан Григоряном Александром Михайловичем. В 1953 году бурится скважина 66/45 на Карташовском месторождении. Скважина имела 10 стволов, три ствола пробурены горизонтально длиной от 60 до 168 метров.

К 1968 году завершена рекордная скважина длиной 2507 метров, имеющая горизонтальное окончание длиной 632 метра.

В 1979 году Французский Институт Нефти (IFP) и компания Elf Aquitaine (Total), запускает исследовательский проект «FORHOR, Horizontal Drilling to Improve Hydrocarbon Production» с целью пробурить на границе с Италией четыре горизонтальные скважины. Длительность проекта составляла пять лет. К проекту привлекается советский автор Григорян Александр Михайлович, который за обещание приглашения работать во Франции, бесплатно передает технологию французской стороне.

Судьба изобретателя сложилась неудачно. На следующий год Александр Михайлович был уволен с работы директором ВНИИ буровой техники Вадецким Ю.В и через несколько лет в 1988 Григорян А.М. был вынужден эмигрировать в США.

А здесь во Франции, после успешного завершения проекта FORHOR, компания Total и IFP образуют сервисную компанию Horwell (доли участников проекта 50/50), через которую начинает продавать технологию горизонтального бурения по всему миру естественно присвоив себе авторство проекта.

§4 Передача эстафеты в США, ошибка Джоши

В 1984 году, по заказу Phillips Petroleum Co (сейчас ConocoPhillips, США) книга Борисова переводится на английский язык, редактором книги которой назначен господин Садананд Джоши, с замечания которого я и начал эту статью.

Ознакомившись с работами Борисова и французского специалиста F.M.Giger, в 1988 году господин Джоши пытается повторить вывод формул (SPE-15375-PA), однако не может справится с выражением для внутреннего сопротивления.

Вот что он пишет,

«Авторы для выражения внутреннего сопротивления используют число Пи в числителе. Мне не удалось в источниках понять как они этого добились, поэтому мне невозможно установить причины такого различия»

и переписывает уравнение для выражения внутреннего сопротивления в виде,

\displaystyle \omega = \frac{1}{2\pi} \left ( \frac{\mu}{kL} \right ) ln \left (\frac{h}{2 r_w} \right)

где недолго думая принимает эквивалентный радиус радиальной фильтрации равный,

\displaystyle R=\frac{h}{2}

Предположение Джоши строится на том, что за радиальный приток к стволу горизонтальной скважины начинается от кровли/подошвы пласта, тогда как советские авторы сообщали, что это расстояние намного меньше. Не умея доказать обратного, Джоши приводит данные сопоставления физического моделирования с результатами расчета и тем самым вносит ошибку в уже известные формулы расчета дебита горизонтальной скважины, породив уникальную формулу Джоши.

В августе 1992 года R.M.Butler из Университета Калгари, прекрасно знакомый со содержанием книги Борисова переведенной на французский язык в 1980 году, пишет официальное замечание господину Джоши, где указывает на его ошибки и объясняет почему в знаменателе появляется число Пи. На что господин Джоши достаточно резко отзывается и указывает что не нашел в замечаниях R.M.Butler никакого технического либо практического значения.

Можно отметить, что формулы Джоши как самостоятельного существующего объекта просто не существует. Это всего лишь ошибка в формуле Борисова непонятливого индуса Садандада Джоши.

§5 Счастливое блуждание Экономидеса

В 1991 году господин Экономидес публикует статью «Comprehensive Simulation of Horizontal-Well Performance» (SPE-20717-PA), где уже на гидродинамическом симуляторе изучает точность формулы Джоши и приходит к выводу, что формула обладает огромной ошибкой.

Использовалась формула Джоши (Борисова) с учетом анизотропии,

\displaystyle \frac{p - p_w}{q} = \frac{1}{2\pi} \left ( \frac{\mu}{kh} \right ) \left [ln \left ( \frac{a+\sqrt{a^2-(L/2)^2}}{L/2} \right) + \frac{\beta h}{L} \cdot ln \left (\frac{\beta h}{2 [\pi] r_w} \right) \right ]

где коэффициент анизотропии, это отношение горизонтальной проницаемости к вертикальной и оказывает влияние только на внутреннее фильтрационное сопротивление,

\displaystyle \beta = \sqrt{\frac{k_h}{k_v}}

Джоши указывает на необходимость соблюдать следующее условие,

\displaystyle L > \beta h

иначе дебит вертикальной скважины становится больше дебита горизонтальной скважины. Показывая в таблицах результаты расчета при нарушении условия, Джоши ставит прочерк вместо числа.

Экономидес начинает свою статью с повторения необходимости соблюдения условия и сразу же совершает подлог,

Исходя из таблицы исходных данных, для горизонтальной скважины L = 774 ft нельзя посчитать дебит при h = 272 ft и анизотропии = 3, ведь 272 * 3 = 816 больше 774 ft.

Тем не менее, дальше приводится таблица в которой Экономидес представляет результаты расчета на гидродинамической модели с расчетами по формуле Джоши (Борисова).

Экономидес для случая анизотропии 3, сообщает об 24% ошибке формулы Джоши от расчетов на гидродинамической модели и комментирует приведенные данные.

«Мы пытались улучшить точность числового решения, путем добавления дополнительных вертикальных слоев и уменьшения размера числового блока, но так и не смогли повторить решения Джоши. Значительные отклонения, особенно для высокой анизотропии, заставляет провести исследование о причинах расхождения».

Далее сделан вывод, что для подавления ошибки в области высокой анизотропии, надо добавить в формулу Джоши следующий коэффициент,

\displaystyle \frac{p - p_w}{q} = \frac{1}{2\pi} \left ( \frac{\mu}{kh} \right ) \left [ln \left ( \frac{a+\sqrt{a^2-(L/2)^2}}{L/2} \right) + \frac{\beta h}{L} \cdot ln \left (\frac{\beta h}{2 (\beta + 1) r_w} \right) \right ]

Несложно убедится, что для анизотропии равной 3, Экономидес предлагает дополнить знаменатель числом (3 + 1) = 4, тем самым вернув на место потерянный коэффициент пи. Полученная формула получила название Джоши-Экономидеса и широко используется в технической литературе.

Тем не менее можно убедится, что формулы Экономидеса также не существует как самостоятельного объекта, это всего лишь исправление ошибки непонятливого индуса Садандада Джоши.

Ход истории заставил упорного индуса вернуть на место число Пи.

§7 Только лишь горизонтальные?

Сложный случай притока жидкости к кустам многозабойных и горизонтальных скважин рассмотрен Меркуловым. Многозабойные скважины мысленно оконтуриваются цилиндрическими поверхностями, на поверхности которых известно давление. Течение во внешней зоне считается плоским, во внутренней зоне — пространственным.

При этом не обязательно знать величину давления на условном контуре, так как оно исключается при решении системы уравнений с применением условия равенства скоростей фильтрации на данной границе. Вопрос заключается лишь в том, чтобы по возможности более правильно взять радиус цилиндрической поверхности, чтобы значение давления было бы близко к постоянному.

Меркулов на основе работы П.Я. Полубариновой-Кочиной «О наклонных и горизонтальных скважинах» (1956), подготавливает кандидатскую диссертацию «О дебите горизонтальных и наклонных скважин» (1957), в которой опираясь на теоретические работы Пелагеи Яковлевны, вывел полуэмпирические формулы, которые с достаточной точностью могут применятся в практических расчетах.

Работа Меркулова была развита вместе с Сургучевым М.Л. в следующей работе «Определение дебита и эффективности наклонных скважин» (1960), где дается вывод формулы для расчета дебита куста наклонных скважин.

По названиям работ мне хотелось показать, что вывод практических формул в СССР не ограничивался единичными горизонтальными скважинами. Решения были получены также и для групп скважин (кусты, ряды) с самыми фантастическими конфигурациями — звездочки, елочки, березовые листы.

Однако Джоши об этом ничего не писал.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.