Smooth Stratified Flow

Статья «A Model for Predicting Flow Regime Transitions in Horizontal and Near Horizontal Gas-Liquid Flow» (1976) авторов Abraham E. Dukler и Yemada Taitel состоит из нескольких частей. В первую очередь в ней дается описание гладкого слоистого течения.

***

Рассмотрим силы действующие на газовую и жидкую фазу при невозмущенном, слоистом течении.

Элемент трубы имеет наклон $\theta$ к горизонту, газ и жидкость перемещаются со средней скоростью $v_g$ и $v_l$ . В сечении трубы выделим следующие геометрические параметры. Площадь занятая газом и жидкостью обозначим как $A_g$ и $A_l$ . Смоченный периметр трубы $S_g$ и $S_l$ . Длина поверхности раздела между фазами обозначим как $S_i$ .

Уровень жидкости в условиях равновесия $h_l$ .

Исходя из известных скоростей течения фаз, свойств, угла наклона и диаметра трубы, требуется определить значение $h_l$ .

Для жидкости, изменение скорости при перемещении элемента на расстояние $\Delta L$ связано с потерями давления на трение жидкости со стенкой трубы (wall-liquid, wl), ускорением за счет трения с быстроперемещающейся газовой фазой и затратами на преодоление силы тяжести.

$A_l \left( \frac{dP}{dL}\right)_L = \tau_i S_i - \tau_{wl} S_l - \rho_l A_l g \sin \theta$

Для газа,

$A_g \left( \frac{dP}{dL}\right)_G = -\tau_i S_i - \tau_{wg} S_g - \rho_g A_g g \sin \theta$

Приравнивания падения давления в фазах друг другу и предполагая, что изменением давления по $h_L$ можно пренебречь, получим

$\tau_{wg} \frac{S_g}{A_g} - \tau_{wl} \frac{S_l}{A_l} +\tau_i S_i \left(\frac{1}{A_l} + \frac{1}{A_g}\right) + (\rho_l - \rho_g) g \sin \theta = 0$

Записанное равенство напряжений позволяет подобрать значение $h_L$ , которое неявно входит в это выражение через площади и смоченные периметры. Это реализуется итерационной процедурой.

Касательное напряжение трения между жидкостью и трубой (Wall-Liquid),

$\tau_{wl} = f_l \cdot \frac{\rho_l u_l^2}{2}$

Коэффициент трения для гладкой трубы, зависит от числа Рейнольдса

$f_l = C_l (Re_l)^{-n} = C_l \left( \frac{u_l d_l \rho_l}{\mu_l} \right)^{-n}$

Для газа запись аналогична (Wall-Gas),

$\tau_{wg} = f_g \cdot \frac{\rho_g u_g^2}{2}$

Коэффициент трения для гладкой трубы, зависит от числа Рейнольдса

$f_g = C_g (Re_g)^{-m} = C_g \left( \frac{u_g d_g \rho_g}{\mu_g} \right)^{-m}$

Для ламинарного режима течения $C_L = C_G = 16$ и $m = n = 1$ .
Для турбулентного режима $C_L = C_G = 0.046$ и $m = n = 0.2$ .

Гидравлические диаметры определяются из подхода предложенного Agrawal (1973). Сопротивление течения жидкости аналогично потоку в открытом канале, для газа аналогично потоку в закрытом канале.

$d_l = \frac{4 A_l}{S_l}$

$d_g = \frac{4 A_g}{S_g + S_i}$

Касательное напряжение между газом и поверхностью раздела,

$\tau_{i} = f_i \cdot \frac{\rho_g (u_g - u_i)^2}{2}$

Согласно работе Gazley (1949), для слоистого течения, коэффициент трения между фазами примерно равен коэффициенту трения газа о стенку трубы

$f_i \aprox = f_g$

И принимая во внимание, что скорость течения газа намного больше скорости перемещения границы раздела фаз, получим выражение совпадающее с записью касательного напряжения на границе газ-труба,

$\tau_{i} = \tau_{wg}$

Представленные выше соотношения позволяют решить задачу определения потерь давления и доли жидкости в сечении трубы для гладкого расслоённого режима течения.

Между геометрическими параметрами и уровнем жидкости существует непростая связь,

$S_l = D \cdot (\pi-\cos^{-1}(2 h/D - 1))$

$S_g = D \cos^{-1}(2 h/D - 1)$

$S_i = D \sqrt{1 - (2h/D - 1)^2}$

$A_l = 0.25 D \left [S_l + (2 h/D - 1) S_i \right ]$

$A_g = 0.25 D \left [S_g - (2 h/D - 1) S_i \right ]$

Следующий пример поможет понять логику расчета слоистого течения. В качестве исходных данных, я снова взял срез данных из GAP для элемента трубы.

Плотность жидкости $\rho_l$ = 800.6 kg/m3
Плотность газа, $\rho_g$ = 13.53 kg/m3
Вязкость жидкости, $\mu_l$ = 6.4771 mPa*s
Вязкость газа, $\mu_g$ = 0.0102 mPa*s

Массовый расход жидкости, $W_l$ = 27.056 kg/s
Массовый расход газа, $W_g$ = 1.608 kg/s

Диаметр трубы, $D$ = 0.3048 m
Шероховатость трубы, $\epsilon$ = 1.52e-5 m

Рассчитаем площадь трубы, $A = \pi D^2 / 4$ = 0.07296 m2

Задаем величину уровня жидкости в трубе.
Начнем с предположения, что половина трубы занята жидкостью $h/D$ = 0.5

Периметр смоченный газом, $S_g = D \cdot \cos ^{-1}(2h\D - 1)$ = 0.4788 m
Периметр смоченный жидкостью, $S_l = \pi D - S_g$ = 0.4788 m
Длина поверхности раздела, $S_i = D \sqrt{1 - (2h\D - 1)^2}$ = 0.3048 m

Теперь определим площади занятые жидкой и газовой фазами,

$A_l=0.25 \cdot D(S_l +(2 h/D - 1) S_i) = 0.03648 \, m2$

$A_g=0.25 \cdot D(S_g - (2 h/D - 1) S_i) = 0.03648 \, m2$

Доля жидкости в сечении трубы,

$H_l = \frac{A_l}{A}= 0.5$

Зная величину $H_l$ можно рассчитать истинные скорости течения,

$u_l = \frac{W_l}{\rho_l \cdot A \cdot H_l } = 0.9263\, m/s$

$u_g = \frac{W_g}{\rho_g \cdot A \cdot (1-H_l) } = 3.2574 \, m/s$

Знание скоростей, позволит нам определить коэффициенты трения.

Для этого сначала вычислим гидравлические диаметры,

$d_l = 4 A_l / S_l$ = 0.3048 m
$d_g = 4 A_g / (S_g + S_i)$ = 0.1862 m

Числа Рейнолдьса,

$Re_l = u_l d_l \rho_l / \mu_l$ = 34 900
$Re_g = u_g d_g \rho_g / \mu_g$ = 805 724

И жидкость и газ движутся турбулентно, коэффициенты трения об стенку трубы следовательно

$f_l = 0.046 (Re_l)^{-0.2}$ = 0.00568

$f_g = 0.046 (Re_g)^{-0.2}$ = 0.00303

Касательное напряжение трения жидкость-труба,

$\tau_{wl} = f_l \rho_l u_l^2 / 2$ = 1.9504

Касательное напряжение трения газ-труба,

$\tau_{wg} = f_g \rho_g u_g^2 / 2$ = 0.2175

Касательное напряжение межфазного трения,

$\tau_{i}=\tau_{wg}$ = 0.2175

Для горизонтальной трубы, баланс между силами трения запишется в виде,

$\tau_i S_i \left(\frac{1}{A_l} + \frac{1}{A_g} \right) = \tau_{wl} \frac{S_l}{A_l} - \tau_{wg} \frac{S_g}{A_g}$

Левая часть уравнения, после подстановки значений переменных, равна $LHS =$ 3.634 и соответственно правая часть, $RHS$ = 22.7403. Повторяя итерации $h/D$ проводится поиск равенства левой и правой части уравнения.

После нескольких попыток, определено искомое значение $h/D$ = 0.61436 при котором значение доли жидкости равно $H_l = 0.64435$ .

Удельные потери давления можно определить как по жидкой так и по газовой фазе. Используем уравнение сохранения для жидкой фазы.

$\left(\frac{dP}{dL} \right) = \tau_i \frac{S_i}{A_l} - \tau_{wl}\frac{S_l}{A_l}$

Подставляя значения, потери на трение составили 11.442 Pa на 1 метр трубы.
В GAP получено большее значение 17.54 Pa

Меньшие потери вызываны тем, что расчет потерь давления выполнен для гладкого слоистого течения, при котором поверхность жидкости представлена ровной поверхностью. Тогда как в зависимости от соотношения скоростей газа и жидкости на поверхности раздела возникают волны. От высоты формируемой волны, поверхность жидкости становится более сложной и выражение для коэффициента трения между жидкой и газовой фазой усложняются.

Практическое моделирование

Добавить комментарий Отменить ответ

Комментарии

Архивы