Stratified Flow in Horizontal and Near Horizontal Tubes

Статья «A Model for Predicting Flow Regime Transitions in Horizontal and Near Horizontal Gas-Liquid Flow» (1976) авторов Abraham E. Dukler и Yemada Taitel состоит из нескольких частей. В первую очередь в ней дается описание слоистого течения.

***

Рассмотрим силы действующие на газовую и жидкую фазу при невозмущенном, слоистом течении.

Элемент трубы имеет наклон $\theta$ к горизонту, газ и жидкость перемещаются со средней скоростью $v_G$ и $v_L$ . В сечении трубы выделим следующие геометрические параметры. Площадь занятая газом и жидкостью обозначим как $A_G$ и $A_L$ . Смоченный периметр трубы $S_G$ и $S_L$ . Длина поверхности раздела между фазами обозначим как $S_i$ .

Уровень жидкости в условиях равновесия $h_L$ .

Исходя из известных скоростей течения фаз, свойств, угла наклона и диаметра трубы, требуется определить значение $h_L$ .

Для жидкости, изменение скорости при перемещении элемента на расстояние $\Delta L$ связано с потерями давления на трение жидкости со стенкой трубы (wall-liquid, wl), ускорением за счет трения с быстроперемещающейся газовой фазой и затратами на преодоление силы тяжести.

$A_L \left( \frac{dP}{dL}\right)_L = \tau_I S_I - \tau_{WL} S_L - \rho_L A_L g sin \theta$

Для газа,

$A_G \left( \frac{dP}{dL}\right)_G = -\tau_I S_I - \tau_{WG} S_L - \rho_G A_G g sin \theta$

Приравнивания падения давления в фазах друг другу и предполагая, что изменением давления по $h_L$ можно пренебречь, получим

$\tau_{WG} \frac{S_G}{A_G} - \tau_{WL} \frac{S_L}{A_L} +\tau_i S_i \left(\frac{1}{A_L} + \frac{1}{A_G}\right) + (\rho_L - \rho_G) g sin \theta = 0$

Искомое значение $h_L$ неявно входит в это выражение через площади и смоченные периметры.
Касательное напряжение трения между жидкостью и трубой,

$\tau_{WL} = f_L \frac{\rho_L u_L^2}{2}$

Коэффициент трения для гладкой трубы, зависит от числа Рейнольдса

$f_L = C_L (Re_L)^{-n} = C_L \left( \frac{u_L d_L \rho_L}{\mu_L} \right)^{-n}$

Для газа запись аналогична,

$\tau_{WG} = f_G \frac{\rho_G u_G^2}{2}$

Коэффициент трения для гладкой трубы, зависит от числа Рейнольдса

$f_G = C_G (Re_G)^{-n} = C_G \left( \frac{u_G d_G \rho_G}{\mu_G} \right)^{-n}$

Для ламинарного режима течения $C_L = C_G = 16$ и $m = n = 1$ .
Для турбулентного режима $C_L = C_G = 0.046$ и $m = n = 0.2$ .

Гидравлические диаметры определяются из подхода предложенного Agrawal (1973). Сопротивление течения жидкости аналогично потоку в открытом канале, для газа аналогично потоку в закрытом канале.

$d_L = \frac{4 A_L}{S_L}$

$d_G = \frac{4 A_G}{S_G + S_i}$

Согласно работе Gazley (1949), для ровного слоистого течения, коэффициент трения между фазами примерно равен коэффициенту трения газа о стенку трубы

$f_i \aprox = f_G$

Понимая, что поверхность раздела представляет собой не ровную, а волнистую поверхность, ошибка вносимая таким предположением не значительна.

$\tau_{i} = f_G \frac{\rho_G (u_G - u_L)^2}{2}$

Авторы совершают переход к безразмерным переменным,

$\tilde h_L = \frac{h_L}{d}, \tilde S_L = \frac{S_L}{d},\tilde {A_L} = \frac{A_L}{d^2}$

Между геометрическими параметрами и уровнем жидкости существует непростая связь,

$\tilde A_L = 0.25 \left [\pi-cos^{-1}(2 \tilde h_L - 1) + (2\tilde h_L - 1) \sqrt{1 - (2 \tilde h_L - 1)^2} \right ]$

$\tilde A_G = 0.25 \left [cos^{-1}(2 \tilde h_L - 1) - (2\tilde h_L - 1) \sqrt{1 - (2 \tilde h_L - 1)^2} \right ]$

$\tilde S_L = \pi-cos^{-1}(2 \tilde h_L - 1)$

$\tilde S_G = cos^{-1}(2 \tilde h_L - 1)$

$\tilde S_i = \sqrt{1 - (2 \tilde h_L - 1)^2}$

Скорости $v_G$ и $v_L$ относятся к скорости течения одной фазы, занимающей все сечение трубы. По этому безразмерная скорость выражается как отношение площадей,

$\tilde v_G = \frac{\tilde A}{\tilde A_G}$

$\tilde v_L = \frac{\tilde A}{\tilde A_L}$

Безразмерные гидравлические диаметры,

$\tilde d_L = \frac{4 \tilde A_L}{\tilde S_L}$

$\tilde d_G = \frac{4 \tilde A_G}{\tilde S_G + \tilde S_i}$

Если бы труба была занята одной фазой, расположенной горизонтально, потери давления вызывались бы только трением,

$A \left( \frac{dP}{dL}\right) = -\tau \cdot S$

Раскрывая периметр и площадь сечения, получим потери давления при течении одной фазы,

$\left( \frac{dP}{dL}\right) = -\tau \cdot \frac{4}{d}$

Определим безразмерную переменную $X$ , как отношение потерь давления при течении одной фазы жидкости (single liquid, sl) к течению одной фазы газа (single gas, sg),

$X^2 = \left( \tau_{sl} \cdot \frac{4}{d} \right) / \left( \tau_{sg} \cdot \frac{4}{d} \right ) = (dP/dL)_{sl} / (dP/dL)_{sg}$

Вторая безразмерная переменная $Y$ равна нулю для горизонтальной трубы и определяется как отношение сил гравитации к падению давления при течении одной фазы газа,

$Y = \left( (\rho_L - \rho_G) g sin \theta \right )/ \left( \tau_{sg} \cdot \frac{4}{d} \right )$

Подставляя полученные переменные в общее уравнение сохранения момента, получим

$A\cdot X^2 - B + 4Y = 0$

где

$A = (\tilde u_L \tilde d_L)^{-n} \cdot u_L^2 \cdot \frac{\tilde S_L }{\tilde A_L}$

$B = (\tilde u_G \tilde d_G)^{-m} \cdot u_G^2 \cdot \left( \frac{\tilde S_G }{\tilde A_G}+\frac{\tilde S_i }{\tilde A_L}+\frac{\tilde S_i }{\tilde A_G} \right)$

Каждая пара значений $X,Y$ определяет значение $h_L /d$ для всех условий при которых режим слоистого течения существует.

Решение построено для случая наибольшего практического интереса при турбулентном течения двух фаз и жидкости и газа. Также построен случай турбулентного течения жидкости и ламинарного газа, который может случится на практике при малых расходах газа.

Практическое моделирование

Добавить комментарий Отменить ответ

Archives