Резервирование продуктивности скважин

В этой заметке мы поговорим о том, как зная фактическую продуктивность исследованных скважин, определить среднюю продуктивность проектных, либо ещё не исследованных скважин.

Используя статистические методы оценивания параметров, можно записать понижающий множитель на фактическую продуктивность таким образом, чтобы в 9 случаях из 10 ожидаемая средняя продуктивность всех проектных скважин оказалась не ниже закладываемого значения. В инженерной практике такой процесс называется резервированием.

Предположим, что существует распределение продуктивностей скважин, имеющее конечную продуктивность и дисперсию,

$\eta_{\infty},\sigma_{\infty}$

Если бы можно было разбурить месторождение бесконечным количеством скважин, среднее значение и дисперсия, определенное по фонду, приближалось бы к истинному значению распределения. Однако, как показывает практика, разработка месторождений осуществляется ограниченным количеством скважин.

Дисперсию генерального (бесконечного) распределения, можно выразить через дисперсию конечных выборок,

$\sigma_{\infty}^2=\sigma_n^2+\sigma_*^2$

Здесь меня смущает средняя внутригрупповая дисперсия $\sigma_n^2$ . Представим, что из бесконечной выборки осуществлен отбор двух групп. Первая группа, это продуктивность пробуренных скважин, и вторая группа это продуктивность тех скважин, которые никогда не будет пробурены.

$\sigma_n^2=\sigma_N^2\cdot\frac{N}{N_\infty}+\sigma_{(N+)}^2\cdot\frac{(N+)}{N_\infty}$

или

$\sigma_n^2=\sigma_N^2\cdot\frac{N}{N_\infty}+\sigma_{(N+)}^2\cdot\frac{N_\infty-N}{N_\infty}$

Выборочная дисперсия по проектным скважинам $\sigma_N^2$ имеет вклад в среднее значение, пропорционально вкладу количества проектных скважин в некоторое условно-бесконечное количество скважин $N/N_\infty$ . Очевидно, что вклад известной дисперсии, по сравнению с неизвестной дисперсией $\sigma_{(N+)}^2$ , скорее всего очень невелик. Возникает вопрос, насколько дисперсия $\sigma_N^2$ может отличаться от $\sigma_{(N+)}^2$ и в конечном счете от искомой $\sigma_n^2$ ?

Некоторое замечание мне удалось найти в книге «Методы выборочного исследования» (У.Кокрен, 1963). Для нормального распределения выборочная дисперсия от выборки к выборке изменяется не так сильно, тогда как для скошенных распределений значения выборочной дисперсии могут иметь сильные различия.

Другими словами, для нормального распределения следует ожидать, что

$\sigma_N^2\approx \sigma^2_{(N+)}$

В нашем же случае, распределение продуктивности может быть близко к лог-нормальному распределению, либо к другому, для которого характерно сильное отклонение от нормального распределения. Обычным наблюдаемым поведением является разделение продуктивности по приницу Парито, когда на 20% фонда приходиться 80% суммарной продуктивности.

Поэтому не остается другой возможности, как принять среднюю внутригрупповую дисперсию равной фактически наблюдаемой по исследованным скважинам и ожидать, что по мере увеличения количества исследований, дисперсия может значительно измениться.

Итак я достаточно посомневался, теперь время идти дальше.

Межгрупповая дисперсия $\sigma^2_*$ обладает одним замечательным свойством. Скорее всего вы обращали внимание, что среднее значение при большом количестве определений становится устойчивым значением и при получении новых данных претерпевает незначительные изменения.

Для любого вида распределения, отклонение среднего выборочного от истинного среднего значения образует нормальное распределение. Это свойство, является следствием центральной предельной теоремы из которой следует, что дисперсия между средними стремится к нулю, при бесконечном количестве определений,

$\sigma^2_*=\frac{\sigma^2_\infty}{N}$

Нормальность распределения, позволяет определить среднюю продуктивность генеральной выборки,

$\eta_{\infty}=\eta_N-t_p \cdot \sigma_*$

или

$\eta_{\infty}=\eta_N-t_p \cdot \frac{\sigma_{\infty}}{\sqrt{N}}$

Значение $t_p$ определяется из таблиц, исходя из объема выборки и уровня надежности. Для количества скважин более 30 и уровне резервирования 90% значение $t_p=1.65$ .

Осталось выразить, чему равна генеральная дисперсия $\sigma_\infty$ ,

$\sigma_{\infty}^2=\sigma_n^2+\frac{\sigma^2_\infty}{N}$

$\sigma_{\infty}^2=\sigma_n^2 \cdot \left (\frac{N}{N-1} \right )$

Окончательно,

$\eta_{\infty}=\eta_N-1.65 \cdot \frac{\sigma_N}{\sqrt{N-1}}$

Заменив дисперсию на вариацию, получим элегантную запись,

$\eta_{\infty}=\eta_N \left (1-1.65 \cdot \sqrt{\frac{V^2_N}{N-1}} \right )$

И здесь вроде бы всё.

Да не всё.

Давайте рассмотрим ситуацию, когда количество проектных скважин $N=200$ и квадрат вариации $V^2=1$ ,

$\eta_{\infty}=\eta_N \left (1-1.65 \cdot \sqrt{\frac{1}{200-1}} \right )=\eta_N \cdot 0.883$

С 90% надежностью, можно оценить среднее значение всей совокупности продуктивности бесконечного количество скважин месторождения, снизив продуктивность полученную по скважинам на 11%.

С практической точки зрения, более важным рассмотреть ещё более короткие выборки, придерживаясь способа приведенного в «Оптимизация разработки нефтяных месторождений», 1991.

Пусть проектное количество скважин $N$ имеет неизвестное среднее значение продуктивности и дисперсию $\eta,\sigma$ . На текущий момент времени проведено испытание $n$ скважин и определены $\eta_n,\sigma_n$ . Можно записать, что дисперсия проектных скважин складывается из дисперсий и дисперсии отклонения между средними значениями,

$\sigma^2=\sigma^2_n+\sigma^2_*$

Среднее значение продуктивности,

$\eta=\eta_n-1.65\cdot\sigma_*$

Выразим межгрупповую дисперсию, сделав следующие выкладки,

$\sigma^2_n=\sigma^2_\infty \cdot \left (\frac{n-1}{n} \right)$

$\sigma^2=\sigma^2_\infty \cdot \left (\frac{N-1}{N} \right)$

$\sigma^2=\sigma^2_n \cdot \left (\frac{N-1}{N} \right) \cdot \left (\frac{n}{n-1} \right)$

Далее,

$\sigma^2_*=\sigma^2-\sigma^2_n$

$\sigma^2_*=\sigma^2_n \cdot \left (\frac{N-1}{N} \right) \cdot \left (\frac{n}{n-1} \right)-\sigma^2_n$

Подставим в формулу среднего значения продуктивности,

$\eta=\eta_n-1.65\cdot\frac{\sigma_n}{\sqrt{n-1}} \cdot \sqrt{1-\frac{n}{N}}$

Выразим через квадрат коэффициента вариации,

$\eta=\eta_n \cdot \left (1-1.65\cdot\sqrt{\frac{V^2_n}{n-1}} \cdot \sqrt{1-\frac{n}{N}} \right )$

Обозначим понижающий коэффициент, как

$\xi_1=1-1.65\cdot\sqrt{\frac{V^2_n}{n-1}} \cdot \sqrt{1-\frac{n}{N}}$

Продуктивность проектных скважин, в зависимости от количества исследованных скважин, запишется в короткой форме,

$\eta=\eta_n \cdot \xi_1$

Примерно в таком виде, с немного отличающимися коэффициентами и внешним видом, но с той же сутью, коэффициент $\xi_1$ вошел в методику ТатНИПИнефть.

И в конце рассмотрим задачу.

На месторождении исследовано $n=5$ скважин, средний коэффициент продуктивности составил $\eta=1.6$ , с квадратом коэффициента вариации $V^2=1.0$ . Всего планируется пробурить $N=200$ скважин.

Коэффициент резервирования составит $\xi_1=0.185$ .

Следовательно, продуктивность всех проектных скважин, следует значительно уменьшить до $\eta=0.297$ , чтобы в 9 случаях из 10 проектная добыча нефти была выполнена.

Так можно понять ценность информации. Даже месторождение с хорошей продуктивностью, при низком отношении количества исследованных скважин к общему, проектному фонду, вынуждено превращается в месторождение с низкой продуктивностью.

Практическое моделирование

Добавить комментарий Отменить ответ

Archives