Практическое моделирование

и другие вопросы разработки нефтяных месторождений
,,^.^,,

Анизотропия проницаемости

Вывод уравнений притока к различным типам скважин для установившегося режима обычно приводится для изотропного по проницаемости пласта. Для практического применения формул следует учитывать анизотропию проницаемости по вертикали, которая возникает из-за слоистого строения коллектора.

Обычно в гидродинамическом моделировании, вертикальная проницаемость составляет всего лишь 10% от горизонтальной,

    \[ \frac{k_z}{k_x}=0.1 \]

Давайте рассмотрим исходное уравнение установившегося режима, которое предполагает сохранение постоянной скорости фильтрации по направлениям во времени,

    \[ \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z} = 0 \]

Скорость фильтрации определяется уравнением Дарси,

    \[ \frac{\partial}{\partial x} \left (\frac{k}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x} \right ) + \frac{\partial}{\partial y} \left (\frac{k}{\mu} \frac{\partial p}{\partial y} \right )+ \frac{\partial}{\partial z} \left (\frac{k}{\mu} \frac{\partial}{\partial z} \right )= 0 \]

Вязкость по направлениям фильтрации считаем неизменной величиной, которую можно сократить. Проницаемость вынесем как постоянную из под знака производной и получим в итоге уравнение неразрывности,

    \[ k \, \frac{\partial p}{\partial x^2} + k \, \frac{\partial p}{\partial y^2} + k \, \frac{\partial p}{\partial z^2}= 0 \]

Рассмотрим новую систему координат, в которой каждая из координатных осей умножена на масштабирующий коэффициент и проницаемость задана вектором k = [k_x, k_y, k_z]

    \[ u = \beta_x \cdot x; \; v = \beta_y \cdot y; \; w = \beta_z \cdot z \]

Уравнение неразрывности преобразуется к виду,

    \[ k_x \cdot \beta^2_x \, \frac{\partial p}{\partial u^2} + k_y \cdot \beta^2_y \, \frac{\partial p}{\partial v^2} + k_z \cdot \beta^2_z \, \frac{\partial p}{\partial w^2}= 0 \]

Теперь попробуем перейти к исходной записи для изотропного пласта, совершив замену проницаемости

    \[ k = k_x \cdot \beta^2_x = k_y \cdot \beta^2_y = k_z \cdot \beta^2_z \]

    \[ k \, \frac{\partial p}{\partial u^2} + k \, \frac{\partial p}{\partial v^2} + k \, \frac{\partial p}{\partial w^2}= 0 \]

Коэффициент анизотропии по проницаемости связан с масштабирующим фактором по оси координат,

    \[ \beta_x = \sqrt{\frac{k}{k_x}};\;\beta_y = \sqrt{\frac{k}{k_y}};\;\beta_z = \sqrt{\frac{k}{k_z}} \]

Таким образом, результаты полученные для изотропного пласта можно распространить на случай анизотропного пласта путем преобразования системы координат,

    \[ u = \beta_x \cdot x; \; v = \beta_y \cdot y; \; w = \beta_z \cdot z \]

2 Comment

  1. Значит ли это, что таким образом мы можем сравнивать проницаемость из гдис с проницаемостью из гдм?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.