Анизотропия проницаемости

Вывод уравнений притока к различным типам скважин для установившегося режима обычно приводится для изотропного по проницаемости пласта. Для практического применения формул следует учитывать анизотропию проницаемости по вертикали, которая возникает из-за слоистого строения коллектора.

Обычно в гидродинамическом моделировании, вертикальная проницаемость составляет всего лишь 10% от горизонтальной,

$\frac{k_z}{k_x}=0.1$

Давайте рассмотрим исходное уравнение установившегося режима, которое предполагает сохранение постоянной скорости фильтрации по направлениям во времени,

$\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z} = 0$

Скорость фильтрации определяется уравнением Дарси,

$\frac{\partial}{\partial x} \left (\frac{k}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x} \right ) + \frac{\partial}{\partial y} \left (\frac{k}{\mu} \frac{\partial p}{\partial y} \right )+ \frac{\partial}{\partial z} \left (\frac{k}{\mu} \frac{\partial}{\partial z} \right )= 0$

Вязкость по направлениям фильтрации считаем неизменной величиной, которую можно сократить. Проницаемость вынесем как постоянную из под знака производной и получим в итоге уравнение неразрывности,

$k \, \frac{\partial p}{\partial x^2} + k \, \frac{\partial p}{\partial y^2} + k \, \frac{\partial p}{\partial z^2}= 0$

Рассмотрим новую систему координат, в которой каждая из координатных осей умножена на масштабирующий коэффициент и проницаемость задана вектором $k = [k_x, k_y, k_z]$

$u = \beta_x \cdot x; \; v = \beta_y \cdot y; \; w = \beta_z \cdot z$

Уравнение неразрывности преобразуется к виду,

$k_x \cdot \beta^2_x \, \frac{\partial p}{\partial u^2} + k_y \cdot \beta^2_y \, \frac{\partial p}{\partial v^2} + k_z \cdot \beta^2_z \, \frac{\partial p}{\partial w^2}= 0$

Теперь попробуем перейти к исходной записи для изотропного пласта, совершив замену проницаемости

$k = k_x \cdot \beta^2_x = k_y \cdot \beta^2_y = k_z \cdot \beta^2_z$

$k \, \frac{\partial p}{\partial u^2} + k \, \frac{\partial p}{\partial v^2} + k \, \frac{\partial p}{\partial w^2}= 0$

Коэффициент анизотропии по проницаемости связан с масштабирующим фактором по оси координат,

$\beta_x = \sqrt{\frac{k}{k_x}};\;\beta_y = \sqrt{\frac{k}{k_y}};\;\beta_z = \sqrt{\frac{k}{k_z}}$

Таким образом, результаты полученные для изотропного пласта можно распространить на случай анизотропного пласта путем преобразования системы координат,

$u = \beta_x \cdot x; \; v = \beta_y \cdot y; \; w = \beta_z \cdot z$

Практическое моделирование

2 Comment

Добавить комментарий Отменить ответ