Для изотропного пласта, при установившемся режиме скорость движения по всем направлениям постоянна во времени,

\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z} = 0

Скорость фильтрации определяется уравнением Дарси,

\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \left (\frac{k}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x} \right ) + \frac{\partial}{\partial y} \left (\frac{k}{\mu} \frac{\partial p}{\partial y} \right )+ \frac{\partial}{\partial z} \left (\frac{k}{\mu} \frac{\partial}{\partial z} \right )= 0

Проницаемость вынесем за знак производной и сократим вязкость. Тем самым получим уравнение неразрывности для изотропного пласта.

\displaystyle k \, \frac{\partial p}{\partial x^2} + k \, \frac{\partial p}{\partial y^2} + k \, \frac{\partial p}{\partial z^2}= 0

Введем новую систему координат, в которой каждая из координатных осей умножена на масштабирующий коэффициент

u = I_x \cdot x; \; v = I_y \cdot y; \; w = I_z \cdot z

Проведем замену на новые координаты,

\displaystyle k_x \cdot I^2_x \, \frac{\partial p}{\partial u^2} + k_y \cdot I^2_y \, \frac{\partial p}{\partial v^2} + k_z \cdot I^2_z \, \frac{\partial p}{\partial w^2}= 0

В таком виде будет записано уравнение неразрывности для анизотропного пласта. Теперь попробуем перейти к исходной записи для изотропного пласта, совершив замену проницаемости

k = k_x \cdot I^2_x = k_y \cdot I^2_y = k_z \cdot I^2_z \displaystyle k \, \frac{\partial p}{\partial u^2} + k \, \frac{\partial p}{\partial v^2} + k \, \frac{\partial p}{\partial w^2}= 0

Коэффициенты анизотропии следовательно равны,

I_x = \sqrt{\frac{k}{k_x}};\;I_y = \sqrt{\frac{k}{k_y}};\;I_z = \sqrt{\frac{k}{k_z}}

Дебит скважины в общем случае складывается из дебита по трем направлениям,

dq = dq_x+dq_y+dq_z

где составляющая дебита по каждой оси, определяется скоростью фильтрации на площадь поперечного сечения,

dq = v_x \cdot dy \cdot dz +v_y \cdot dx \cdot dz + v_z \cdot dx \cdot dy dq = \frac{k_x}{\mu}\cdot \frac{dp}{dx} \cdot dy \cdot dz +\frac{k_y}{\mu}\cdot \frac{dp}{dy} \cdot dx \cdot dz + \frac{k_z}{\mu}\cdot \frac{dp}{dz} \cdot dx \cdot dy

Переходя в новые координаты,

dq = \frac{1}{I_x \cdot I_y \cdot I_z} \left ( \frac{k}{\mu} \cdot dv \cdot dw +\frac{k}{\mu}\cdot \frac{dp}{dv} \cdot du \cdot dw + \frac{k}{\mu}\cdot \frac{dp}{dw} \cdot du \cdot dv \right )

Выражение в скобке по форме является решением для изотропного пласта.

Чтобы перейти от решения полученного для изотропного пласта к анизотропному пласту, необходимо изотропный дебит поделить на произведение коэффициентов анизотропии,

Q=\frac{1}{I_x \cdot I_y \cdot I_z} \cdot Q_{i}

Рассмотрим уравнение Дюпюи для вертикальной скважины записанное для изотропного пласта,

Q=2\pi \cdot \frac{kh}{\mu} \cdot \frac{dp}{ln(r/r_w)}

При наличии анизотропии по латерали, когда проницаемость по направлению X и Y различны, дебит вертикальной скважины будет равен,

Q=\frac{Q_i}{I_x \cdot I_y}= 2\pi \cdot \frac{kh}{I_x \cdot I_y \cdot \mu} \cdot \frac{dp}{ln(r/r_w)} Q= 2\pi \cdot \frac{\sqrt{k_x \cdot k_y} \cdot h}{\mu} \cdot \frac{dp}{ln(r/r_w)}

Здесь следовало бы провести и геометрическую замену радиуса, так как в новой системе координат круговой контур питания превращается в эллипс. Однако, для радиального режима фильтрации изменение контура питания слабо влияет на результат.

При написании этой заметки, я одним глазом подсматривал в SPE-27636-MS, а другим в книгу «Исследования фильтрации неоднородных систем» Эфроса.