ОФП ещё раз про любовь

§1 Теория Баклея-Леверетта

Экспериментально установлено, что при фильтрации нефти и воды скорость фильтрации каждой фазы зависит от текущей водонасыщенности. Изменение скорости фильтрации учитывается дополнением уравнения Дарси понятием относительной фазовой проницаемостью,

$v_o= k^*_o(S_w) \cdot \frac{k}{\mu_o} \cdot \frac{dp}{dx}$

$v_w= k^*_w(S_w) \cdot \frac{k}{\mu_w} \cdot \frac{dp}{dx}$

Типовые зависимости ОФП от насыщенности выглядят следующим образом,

Принято считать, что фазовая проницаемость по воде зависит только от текущей водонасыщенности,

$k_{rw}=f(S_w)$

Поэтому случай совместной трехфазной фильтрации нефти, газа и воды, можно упростить до условной фильтрации двух фаз, вода + углеводороды.

Также считается, что фазовая проницаемость по газу зависит только от текущей газонасыщенности,

$k_{rg}=f(S_g)$

В этом случае трехфазную фильтрацию также можно упростить до фильтрации двух фаз, газ + жидкость.

Фазовой проницаемости по нефти не повезло. Cкорость фильтрации нефти зависит от текущей водо- и газонасыщенности,

$k_{ro}=f(S_w, S_g)$

При вытеснение нефти водой происходит рост водонасыщенности. Различие в скорости фильтрации приводит к тому, что закачиваемая вода, движется быстрее чем вытесняемая нефть. Образуется фронт вытеснения, за которым происходит довытеснение нефти. Часть воды на фронте вытеснения успевает капиллярно пропитываться, поэтому перед фронтом вытеснения формируется небольшая распыленная область.

Пренебрегая влиянием капиллярных сил, изменение массового расхода нефти в элементарном объеме пласта вызвано изменением нефтенасыщенности,

$-\frac{\partial}{\partial x}(\rho_o u_o) = \frac{\partial}{\partial t}(\rho_o S_o \phi)$

Для воды можно записать схожее выражение,

$-\frac{\partial}{\partial x}(\rho_w u_w) = \frac{\partial}{\partial t}(\rho_w S_w \phi)$

Записанные уравнения подразумевают, что нефть не растворима в воде и изменение насыщенности связано только с вытеснением нефти из породы.

Умножая обе части уравнения на площадь фильтрации «A», перейдем от скорости фильтрации к дебиту,

$-\frac{\partial}{\partial x}(\rho_o q_o) = A \cdot \frac{\partial}{\partial t}(\rho_o S_o \phi)$

$-\frac{\partial}{\partial x}(\rho_w q_w) = A \cdot \frac{\partial}{\partial t}(\rho_w S_w \phi)$

В модели Баклея-Леверетта (BL) нефть и вода считается несжимаемыми, поэтому плотность принимается постоянной. Пористость также принимается постоянной, поэтому уравнения упрощаются до следующего вида,

$-\frac{\partial q_o}{\partial x} = A \cdot \phi \frac{\partial S_o}{\partial t}\$

$-\frac{\partial q_w}{\partial x} = A \cdot \phi \frac{\partial S_w}{\partial t}$

Суммарный дебит нефти и воды,

$q_t=q_o+q_w$

также запишем отношение доли нефти в общем потоке и долю воды (обводненность),

$f_o=\frac{q_o}{q_t} =\frac{q_o}{q_o+q_w}$

$f_w=\frac{q_w}{q_t} =\frac{q_w}{q_o+q_w}$

В современном инженерном языке не прижилось устойчивого выражения для обозначения «доли в потоке», поэтому используется тяжеловесная калька с английского языка «фракционный поток».

Очевидно, что сумма долей равна единице,

$f_o+f_w=1$

поэтому далее можно не рассматривать отдельно уравнение для нефти, а ограничиться только одним уравнением для воды, которое перепишем через обводненность,

$-\frac{\partial f_w}{\partial x} = \frac{A \cdot \phi}{q_t} \frac{\partial S_w}{\partial t}$

Из полученного выражения (опуская вывод) можно получить собственно уравнение Баклея-Леверетта,

$\left ( \frac{dx}{dt}\right )_{S_w} = \frac{q_t}{A \cdot \phi} \left (\frac{\partial f_w}{\partial S_w} \right )_t$

Скорость с которой перемещается значение $S_w$ зависит от значения производной обводненности для этой водонасыщенности

$v(S_w) = \frac{q_t}{A \cdot \phi} \cdot {f_w}'$

Можно заметить, что следующий комплекс в уравнении BL является средней реальной скоростью фильтрации,

$v = \frac{q_t}{A \cdot \phi}$

Следовательно, значение производной обводненности показывает на сколько быстрее заданная водонасыщенность перемещается относительно средней скорости фильтрации,

$v(S_w) = v \cdot {f_w}'$

Зная скорость, с которой перемещается заданная насыщенность, не сложно найти и пройденное расстояние.

$x(S_w) = v(S_w) \cdot t$

Можно построить множество точек положения насыщенностей во времени следующим образом. Сначала из исходных кривых относительных фазовых проницаемостей рассчитывается кривая доли воды в потоке,

$f_w = \frac{1}{\displaystyle 1+\left ( \frac{k^*_o}{k^*_w}\right )\left ( \frac{\mu_w}{\mu_o}\right )}$

ОФП часто удобно описать одной из аппроксимирующий функцией (Corey, LET) и определить производную в каждой точке водонасыщенности,

Знание производной позволяет построить положение фронта вытеснения к примеру для средней скорости фильтрации V = 0.5 м/c, через t = 10 c после начала вытеснения,

Что не так с этим графиком?

Обращает внимание, что для координаты положения представлена физически невозможная ситуация существования двух значений водонасыщенности.

Разрешение неоднозначности следует из простого наблюдения за процессом вытеснения. Существует граница раздела между нагнетаемой водой и нефтью, называемая фронтом вытеснения, которая перемещается во времени. Рассмотрим прохождение фронта вытеснения на два момента времени,

В рассматриваемом объеме пласта за время $(t_2-t_1)$ , водонасыщенность вырастет от начальной $S_{wi} = 0.36$ до некоторого нового значения, которое при уменьшении размера рассматриваемого участка, приближается к значению на фронте вытеснения $S_{wf}$ ,

$\Delta S_w=S_{wf}-S_{wi}$

Через изменение водонасыщенности определим объем воды, который накопится в объеме пласта,

$\Delta V_w=A \phi \Delta S_w \Delta x$

С другой стороны, объем воды можно определить через дебит воды, который поступает в рассматриваемый объем за промежуток времени

$\Delta V_w=q_w \cdot \Delta t=q_t \cdot f_w \cdot \Delta t$

Приравняв объемы воды, получим связь между изменением водонасыщенности и временем

$q_t \cdot f_w \cdot \Delta t = A \cdot \phi \Delta S_w \Delta x$

Значит изменение водонасыщенности в правой части уравнения, должно быть согласовано со значением обводненности на фронте вытеснения определяемой в левой части уравнения. Значение обводненности на входе,

$f_w = \frac{A \cdot \phi}{q_t} \cdot \frac{\Delta x}{\Delta t} \cdot \Delta S_w$

далее совершая предельный переход, получим выражение связывающее значение обводненности на фронте вытеснения и насыщенностью на фронте,

$f_w = {f_w}' \cdot (S_{wf}-S_{wi})$

что в графическом представлении является касательной из точки Swi к графику функции fw, точка касания определяет баланс между значением насыщенности на фронте вытеснения и обводненностью.

Полученное значение насыщенности определяет максимальную скорость вытеснения нефти водой, значения скорости выше скорости фильтрации фронта вытеснения нефизичны. Это позволит преобразовать ранее показанный профиль скоростей, ограничив скоростной максимум,

Значение dfwf/dSwf = 2.97 показывает, что фронт вытеснения движется почти в 3 раза быстрее чем средняя скорость фильтрации. Значения множителя скоростей от 3 и выше недостижимы.

Получив правильный профиль скоростей, можно построить распределение насыщенности на разные моменты времени,

Также следует обратить внимание, что в пласте не существует переходной насыщенности от $S_{wf}$ до $S_{wi}$ , также и в добывающей скважине не существует переходной обводненности от $fw = 0$ до $f_w = f_{wf}$ .

Обводненность меняется мгновенно до значения на фронте вытеснения и это значение для маловязкой нефти может быть огромным, порядка $f_w = 85-95%$ , приближая процесс к поршневому вытеснению.

§2 Unsteady State Test или Метод вытеснения

Экспериментальные исследования проводимые в том числе и в лаборатории подземной гидродинамики ВНИИ показали, что при вытеснении нефти водой в породе формируется область совместного течения нефти и воды. Ниже приведено типичное распределение водонасыщенности по длине 12-метровой модели,

Эфрос Д.А. «Исследование фильтрации неоднородных систем», 1963

На фронте вытеснения формируется «стабилизированная зона» $x^*$ , размер которой сохраняется приблизительно постоянной и зависят от отношения,

$\pi_1 = \frac{\sigma}{\sqrt{k/m} \cdot \Delta p}$

Для масштабов месторождения, размер стабилизированной зоны $x^*$ по отношению к расстоянию между скважинами $L$ является малой величиной и не оказывает значительного влияния на динамику обводнения. Однако при вытеснении нефти водой на небольших образцов керна, стабилизированная зона может быть сопоставима с длиной образца.

При проведении эксперимента, величину $x^*/L$ пытаются уменьшить используя высокие скорости вытеснения, что в свою очередь приводит к увеличению градиента давления и изменяет критерий подобия,

$\pi_2 = \frac{\sigma}{k \cdot grad \, p}$

который в значительной степени искажает процесс вытеснения и влияет на величину безводной нефтеотдачи.

Эфрос Д.А. «Исследование фильтрации неоднородных систем», 1963

Точное выполнение критериев подобия $\pi_1$ и $\pi_2$ возможно было бы при выполнении следующего условия,

$\left [\frac{L^2}{k} \right ]_{core}=\left [\frac{L^2}{k} \right ]_{nature}$

согласно которому, уменьшение линейных размеров при переходе от масштаба месторождения к масштабу керна должно сопровождаться уменьшением и проницаемости образца. С практической точки зрения, подобное кратное уменьшение проницаемости нарушает геометрическое подобие внутреннего порового пространства, поэтому имитировать разработку месторождения в малом масштабе керна возможно достаточно условно.

При проведении эксперимента, регистрируются во времени расход нагнетаемой воды, объем вытесненной нефти и воды и перепад давления на образце,

Предположение о малом размере стабилизированной зоны, позволяет пренебречь капиллярностью и применить теорию Баклея-Леверетта для вычисления относительной фазовой проницаемости нефти и воды.

Однако неопределенность в значении насыщенности на фронте вытеснения порождает сложность в обработке результатов эксперимента и в целом кривые ОФП полученные «методом вытеснения» считаются ненадежными.

§3 Steady State Test или Метод стационарной фильтрации

Для образца керна переменная насыщенность воды по длине создает серьезные трудности по обратному расчёту фазовых проницаемостей. Однако к моему удивлению, существует весьма простое решение — это создать постоянную насыщенность по всей длине керна.

Если вернуться к графику кривых относительных фазовых проницаемостей, выдержать постоянную водонасыщенность в каждом сечении образца возможно только при сохранении постоянной скорости фильтрации нефти и воды, или другими словами, значений фазовой проницаемости нефти и воды.

При проведении эксперимента, в образец подается смесь нефти и воды заданной пропорции до достижения стабилизации водонасыщенности.

Далее, проводится обработка результатов эксперимента.

По известным объемам подаваемой нефти и воды и зная перепад давления, несложно вычислить значения фазовой проницаемости каждой фазы,

$k_{w}=\frac{q_w \cdot \mu_w \cdot L}{A \cdot \Delta p}$

$k_{o}=\frac{q_o \cdot \mu_o \cdot L}{A \cdot \Delta p}$

И значение относительной фазовой проницаемости,

$k_{rw}=\frac{k_w}{k}$

$k_{ro}=\frac{k_o}{k}$

Сравнение распределения водонасыщенности, полученное расчётным путем из ОФП определенных в стационарном эксперименте с экспериментальной водонасыщенностью при вытеснении нефти водой, показывает удовлетворительное согласование друг с другом.

Таким образом, стационарные относительные фазовые проницаемости могут служить надежной основой гидродинамических расчётов.

Совместная подача нефти и воды на вход в образец, сопровождается формированием собственного распределения давления в каждой фазе. Разница между давлениями в нефти и воде, называется капиллярным давлением и зависит от текущей водонасыщенности в сечении образца.

Так как насыщенность по образцу не меняется, разница между давлениями сохраняется постоянной. Однако, на выходе из образца давление в фазах нефть и вода сравнивается, что должно приводить к изменению насыщенности. Это явление называется капиллярным концевым эффектом,

Для устранения влияния концевого эффекта, используется составная модель, где измерение перепада давления и насыщения производится только по центральному образцу.

Однако, мне всё также остается непонятным вопрос, давление в какой фазе измеряет манометр на входе в образец? Ведь от этого зависит величина перепада давления в определении проницаемости.

Допустим, что при проведении эксперимента, перепад давления замеряется в несмачивающей фазе. Для гидрофильного коллектора, несмачивающей фазой является нефть,

$\Delta p_o = p_{o1}-p_{o2}$

Тогда перепад давления для воды, c учетом капиллярного давления,

$p_{w1}-p_{w2} = (p_{o1} - p_{o2}) - (p_{c1} - p_{c2})$

Величина фазовой проницаемости по воде будет меньше истинной фазовой проницаемости по воде, за счет разницы капиллярного давления в двух точках замера,

$k^*_{w} = k_{w} \cdot \left ( \frac{1}{1 - \displaystyle \frac{p_{c1} - p_{c2}}{p_{o1} - p_{o2}}} \right )$

Источником ошибки является небольшая разница в насыщенности по длине образца керна. Отличие насыщенности в 2% абс. встречается достаточно часто, но несмотря на незначительное отличие в насыщении, изменение капиллярного давления может быть значимой величиной для низкопроницаемых коллекторов.

Для уменьшения ошибки определения фазовой проницаемости, эксперимент проводят при высокой скорости фильтрации, так чтобы перепад давления был заведомо больше перепадов капиллярного давления,

$p_{o1} - p_{o2} >> p_{c1} - p_{c2}$

Однако величина максимального перепада давления ограничивается ОСТ 39-235-89, где указано и вполне объяснимо почему, что скорость фильтрации выбирается исходя из ожидаемых скоростей фильтрации при разработке изучаемого объекта. Поэтому, опять же для низкопроницаемых колекторов пытаясь сохранить низкие скорости фильтрации используют малые перепады давления.

При подготовки заметки в части теоретического вывода уравнения полностью использовалась книга «Waterflooding» G.Paul Willhite (1986) и статья «Numerical Simulation of the Buckley-Leverette Problem» (2013), где объясняется построение графического решения

Добавить комментарий Отменить ответ