Практическое моделирование

и другие вопросы разработки нефтяных месторождений
fundamental

ОФП ещё раз про любовь. Часть третья.

Экспериментально установлено, что при фильтрации нефти и воды скорость фильтрации каждой фазы зависит от текущей водонасыщенности. Изменение скорости фильтрации учитывается расширением уравнения фильтрации Дарси понятием относительной фазовой проницаемостью,

\displaystyle v_o= k^*_o(S_w) \cdot \frac{k}{\mu_o} \cdot \frac{dp}{dx} \displaystyle v_w= k^*_w(S_w) \cdot \frac{k}{\mu_w} \cdot \frac{dp}{dx}

Зависимость ОФП от насыщенности определяется в лаборатории, типовые зависимости выглядят следующим образом,


Различие в скоростях фильтрации, приводит к тому, что закачиваемая вода, движется быстрее чем вытесняемая нефть. Образуется фронт вытеснения, за которым происходит довытеснение нефти.

Часть воды на фронте вытеснения успевает капиллярно пропитываться, поэтому перед фронтом вытеснения формируется небольшая распыленная область. Пренебрегая влиянием капиллярных сил уравнение сохранение массы запишется в достаточно простом виде,

-\frac{\partial}{\partial x}(\rho_o u_o) = \frac{\partial}{\partial t}(\rho_o S_o \phi)

Для воды можно записать схожее выражение,

-\frac{\partial}{\partial x}(\rho_w u_w) = \frac{\partial}{\partial t}(\rho_w S_w \phi)

Записанные уравнения подразумевают, что нефть не растворима в воде и изменение насыщенности связано только с вытеснением нефти из породы.

Умножая обе части уравнения на площадь фильтрации «A», перейдем от скорости фильтрации к дебиту,

-\frac{\partial}{\partial x}(\rho_o q_o) = A \cdot \frac{\partial}{\partial t}(\rho_o S_o \phi) -\frac{\partial}{\partial x}(\rho_w q_w) = A \cdot \frac{\partial}{\partial t}(\rho_w S_w \phi)

В модели Баклея-Леверетта (BL) нефть и вода считается несжимаемыми, поэтому плотность принимается постоянной. Пористость также принимается постоянной, поэтому уравнения упрощаются до следующего вида,

-\frac{\partial q_o}{\partial x} = A \phi \frac{\partial S_o}{\partial t} -\frac{\partial q_w}{\partial x} = A \phi \frac{\partial S_w}{\partial t}

Суммарный дебит нефти и воды,

q_t=q_o+q_w

также запишем отношение доли нефти в общем потоке и долю воды (обводненность),

f_o=\frac{q_o}{q_t} =\frac{q_o}{q_o+q_w} f_w=\frac{q_w}{q_t} =\frac{q_w}{q_o+q_w}

В современном инженерном языке не прижилось устойчивого выражения для обозначения «доли в потоке», поэтому используется тяжеловесная калька с английского языка «фракционный поток».

Очевидно, что сумма долей равна единице,

f_o+f_w=1

поэтому далее можно не рассматривать отдельно уравнение для нефти, а ограничиться только одним уравнением для воды, которое перепишем через обводненность,

-\frac{\partial f_w}{\partial x} = \frac{A \phi}{q_t} \frac{\partial S_w}{\partial t}

Из полученного выражения (опуская вывод) можно получить собственно уравнение Баклея-Леверетта,

\left ( \frac{dx}{dt}\right )_{S_w} = \frac{q_t}{A\phi} \left (\frac{\partial f_w}{\partial S_w} \right )_t

В краткой форме это можно записать,

v(S_w) = \frac{q_t}{A \cdot \phi} \cdot {f_w}'

Постоянная скорость с которой заданная водонасыщенность S_w движется сквозь поровое пространство, можно получить из производной фракционного потока для этой водонасыщенности. Зная скорость, с которой перемещается заданная насыщенность, не сложно найти и расстояние,

x(S_w) = v(S_w) \cdot t

Графически это можно представить так,

    {S_w} — водонасыщенность
    X/L — относительное расстояние
    S_{iw} — начальная водонасыщенность
    S_{wf} — водонасыщенность на фронте вытеснения
    v_1,v_2 — скорость фильтрации для некоторых значений водонасыщенности
    v_f — скорость фильтрации фронта вытеснения

Построение положения фронта вытеснения во времени, проходит следующим образом. Из исходных кривых относительных фазовых проницаемостей

Рассчитывается кривая доли воды в потоке,

f_w = \frac{1}{\displaystyle 1+\left ( \frac{k^*_o}{k^*_w}\right )\left ( \frac{\mu_w}{\mu_o}\right )}

Кривые ОФП часто удобно описать одной из аппроксимирующий функцией (Corey, LET) и определить производную в каждой точке водонасыщенности,

Можно заметить, что следующий комплекс в уравнении BL является средней реальной скоростью фильтрации,

v_{real} = \frac{q_t}{A\phi}

Следовательно, значение построенной производной показывает на сколько быстрее чем средняя скорость фильтрации перемещается заданная водонасыщенность. Заметим, что некоторые значения водонасыщенности значительно опережают среднюю скорость фильтрации в 2-5 раз.

Построим положение фронта вытеснения для V = 0.5 м/c, через t = 10 c после начала вытеснения,

Что не так с этим графиком?

Несмотря на то, что уравнение BL действительно позволяет определить скорость фильтрации для каждого значения насыщенности, при попытке перейти к координатам положения, возникает два значения водонасыщенности для каждой координаты, что конечно же физически невозможная ситуация.

Пренебрежение капиллярными силами, приводит к тому что в модели BL возникает скачок насыщенности на фронте вытеснения и уравнение становится разрывным. Для определения точки разрыва, рассмотрим положение фронта вытеснения на два момента времени,

За время (t_2-t_1), насыщенность в рассматриваемом объеме пласта изменится от начальной до насыщенности на фронте вытеснения,

\Delta S_w=S_{wf}-S_{wi}

Объем воды, который накопится в этом объеме пласта,

\Delta V_w=A \phi \Delta S_w \Delta x

С другой стороны, объем воды можно определить через дебит воды, который поступает в рассматриваемый объем,

q_w=q_t \cdot f_w \Delta V_w=q_w \cdot \Delta t=q_t \cdot f_w \cdot \Delta t

Приравняем объемы воды,

q_t \cdot f_w \cdot \Delta t = A \phi \Delta S_w \Delta x

И определим с какой обводненностью должна подаваться жидкость на вход,

f_w = \frac{A \phi}{q_t} \cdot \frac{ \Delta S_w \Delta x}{\Delta t}

далее совершая предельный переход,

f_w = {f_w}' \cdot (S_{wf}-S_{wi})

получим уравнение касательной из точки Swi к графику функции fw, с помощью которого и определим значение насыщенности на фронте вытеснения.

Полученное значение насыщенности определяет максимальную скорость вытеснения нефти водой, значения скорости выше скорости фильтрации фронта вытеснения нефизичны. Это позволит преобразовать ранее показанный профиль скоростей,

Значение dfwf/dSwf = 2.97 показывает, что фронт вытеснения движется почти в 3 раза быстрее чем средняя скорость фильтрации. Значения множителя скоростей от 3 и выше недостижимы. Теперь, получив правильный профиль скоростей, можно построить распределение насыщенности на разные моменты времени,

Разобравшись с распределением водонасыщенности по пласту на разные моменты времени, остается вопрос расчёта технологических показателей скважины, которыми мы и займемся в следующей заметке.

При подготовки заметки в части теоретического вывода уравнения полностью использовалась книга «Waterflooding» G.Paul Willhite (1986) и статья «Numerical Simulation of the Buckley-Leverette Problem» (2013), где объясняется построение графического решения

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *