Практическое моделирование

и другие вопросы разработки нефтяных месторождений
Пересказ

Решение задач нестационарного притока к скважине

06.05.2026

В начале 70-х годов, Alain Gringarten опубликовал ряд замечательных статей. Начиная с диссертации «Unsteady-state pressure distributions created by a well with a single horizontal fracture, partial penetration, or restricted entry» (1971) выходят следующие статьи:

«The use of source and Green`s functions in solving unsteady-flow problem in reservoirs» (Oct 1973), «Unsteady-State pressure distribution created by a well with a single infinty-conductivity vertical fracture» (Aug 1974), «An approximate infinite conductivity solution for a partially penetrating line-source well» (Apr 1975).

По материалам этих статей я и подготовил этот пересказ.

***

Неустановившееся течение сжимаемой жидкости в однородной области пласта D ограниченной поверхностью S_e описывается уравнением диффузии. Предполагая постоянными проницаемость, пористость и вязкость флюида и пренебрегая гравитацией давление в точке M определяется уравнением,

    \[\eta_x \,\frac{\partial^2 p(M,t)}{\partial x^2} + \eta_y \,\frac{\partial^2 p(M,t)}{\partial y^2} + \eta_z \, \frac{\partial^2 p(M,t)}{\partial z^2} = \frac{\partial p(M,t)}{\partial t}\]

Для цилиндрических координат,

    \[\eta_r \, \frac{1}{\partial r} \left ( r \, \frac{\partial p(M,t)}{\partial r} \right ) + \eta_z \frac{\partial^2 p(M,t)}{\partial z^2} = \frac{\partial p(M,t)}{\partial t}\]

Коэффициенты диффузии по направлениям определяют анизотропию проницаемости, где j = x,y,z,r.

    \[\eta_j = \frac{k_j}{\phi \mu c_t}\]

Для бесконечного пласта или пласта ограниченного плоскостями перпендикулярными основным осям направленности проницаемости, задача в анизотропном пласте может быть упрощена до задачи изотропного пласта. Что также выполнимо и для цилиндрических координат, где рассматриваемая область ограничена плоскостью перпендикулярной оси z и цилиндрической поверхностью вокруг оси z.

Умножив уравнение диффузии на коэффициент анизотропии \sqrt{k/k_j}, получим общее уравнение для однородного пласта,

    \[\eta \, \nabla^2 p(M,t) = \frac{\partial p(M,t)}{\partial t}\]

Чтобы получить единственное решение уравнения p(M,t) требуется задать начальное пластовое давление в области D и граничное условие на S_e. Это либо фиксированный поток через границу (задача Неймана) или постоянное значение давления на границе (задача Дирхле). Также можно задать и смешанные условия, когда на одной границе задан поток, а на другой давление.

Для линейной задачи ранее было получено следующее общее решениe,

    \[ p(x,t) = \int_a^b p(\xi, 0) G(x,t|\xi,0) d\xi + \eta \, \int_0^t \int_a^b \, G(x,t|\xi,\tau) \, g(\xi,\tau) \, d\xi\, d\tau + \]

    \[ \eta \, \int_0^t \left [ G(x,t|\xi,\tau) \, \frac{\partial p(\xi,\tau)}{\partial \xi} - p(\xi,\tau) \, \frac{\partial G(x,t|\xi,\tau)}{\partial \xi} \right ] \Bigg |_{\xi=a}^{\xi=b} \, d\tau \]

Рассмотрим теперь общее решение для области D с границей S_e для точки M\in D,

    \[ p(M,t) = \int\limits_D p(\xi, 0) G(M,t|\xi,0) d\xi - \frac{1}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t \int\limits_D \, G(M,t|\xi,\tau) \, q(\xi,\tau) \, d\xi \, d\tau + \]

    \[ \eta \, \int\limits_0^t \int\limits_{S_e} \left [ G(M,t|\xi,\tau) \, \frac{\partial p(\xi,\tau)}{\partial n(\xi)} - p(\xi,\tau) \, \frac{\partial G(M,t|\xi,\tau)}{\partial n(\xi)} \right ]dS_e \, d\tau \]

Здесь генерирующая функция g(\xi,\tau) уточнена до функции удельного дебита единицы объема q(M,\tau) со знаком минус. Переходя к рассмотрению перепада давления, как разницу между начальным и текущим давлением,

    \[\Delta p(M,t) = \int\limits_D p(\xi, 0) G(M,t|\xi,0) d\xi - p(M,t)\]

и упрощая написание функции G(x,t|M,\tau), получим,

    \[ \Delta p(M,t) = \frac{1}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t \int\limits_D \, G\, q(\xi,\tau) \, d\xi \, d\tau - \eta \, \int\limits_0^t \int\limits_{S_e} \left [ G \, \frac{\partial p(\xi,\tau)}{\partial n(\xi)} - p(\xi,\tau) \, \frac{\partial G}{\partial n(\xi)} \right ]dS_e \, d\tau \]

Здесь первый член отвечает за работу точечного потребителя с заданным дебитом, второй член отвечает за внешние граничные условие, который также состоит из двух составляющих, из которых только один не равен нулю.

    \[ \int\limits_{S_e} \left [ G \, \frac{\partial p(\xi,\tau)}{\partial n(\xi)} - p(\xi,\tau) \, \frac{\partial G}{\partial n(\xi)} \right ]dS_e \]

Если задан приток через внешнюю границу, тогда производная функции Грина зануляется,

    \[{\frac{\partial p(\xi,\tau)}{\partial n(\xi)} = define, \, \, \frac{\partial G}{\partial n(\xi)} = 0\]

И также если задано давление на внешней границе,

    \[ p(\xi,\tau)\Bigg |_{\xi\in {S_e}} = define, \,\, G = 0\]

Если область D бесконечна или ограничена, причем что на границе задано условие нулевого притока (ограниченный пласт) или поддержания постоянного давление на границе, составляющая граничных условий обнуляется и перепад давления и упрощается до,

    \[\Delta p(M,t) = \frac{1}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t \int\limits_D \, G\, q(\xi,\tau) \, d\xi \, d\tau \]

Если единичный источник работает с постоянным дебитом, тогда

    \[ \Delta p(M,t) = \frac{1}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t q(\tau) \cdot S(\xi,t-\tau) d\tau \]

где функция мгновенного источника работающего с постоянным дебитом,

    \[S(\xi,t-\tau)= \int\limits_D \, G(x,t|\xi,\tau) \, d\xi\]

Albert Newman в статье «Heating and Cooling Rectangular and Cylindrical Solids» (1936) показал, что если начальная температура тела постоянна и на границе тела поддерживается постоянная температура, то решение трехмерной задачи теплопроводности можно представить как произведение трех одномерных задач.

Работа скважины в ограниченном или бесконечном пласте соответствует предложенным начальным и граничным условиям, поэтому можно сформулировать следующее — функция мгновенного источника для пласта, которая может быть представлена как пересечение двух одномерных пластов, равна произведению функций мгновенных источников для каждого одномерного пласта.

    \[S(x,y,t)= S(x,t) \cdot S(y,t)\]

    \[S(r,z,t)= S(r,t) \cdot S(z,t)\]

Для конструирования многомерных функций мгновенного источника, нам потребуется два простых вида источников, известных для одномерного бесконечного пласта. Это функция мгновенного точечного источника, расположенного в точке x_w, где под x может пониматься y или z.

I(x)   \begin{equation*} S(x,t) = \frac{1}{2 \sqrt{\eta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi t }} \cdot \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta t} \right ] \end{equation*}

И функция мгновенного источника, для пластины шириной x_f, с центром пластины в x_w,

II(x)   \begin{equation*} S(x,t) = \frac{1}{2} \left [ \mathtt{erf} \, \frac{x - (x_w - x_f/2)}{2 \sqrt{\eta t}} - \mathtt{erf} \, \frac{x - (x_w + x_f/2)}{2 \sqrt{\eta t}} \right ] \end{equation*}

Влияние непроницаемых границ или границ поддержания постоянного давления учитывается методом отражений, применение которого приведено в статье «Effect partial penetration on pressure build-up in oil wells«. Для повышения сходимости суммирования при малых значения времени, применяется формула суммирования Пуассона,

    \[\sum_{-\infty}^{+\infty }\exp \left [ -\frac{(x-x_w + 2nL)^2}{4 \eta t} \right ] = \frac{\sqrt{\pi \eta t}}{L} \left[1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \cos \frac{n \pi (x - x_w)}{L} \cdot \exp \left (\frac{-n^2 \pi^2 \eta t}{L^2} \right ) \right ] \]

Для одномерного пласта с границами.

a) Точечный источник в точке x_w, непроницаемые границы. Пласт шириной x_e.

VII(x)   \begin{equation*} \frac{1}{x_e} \left[1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \exp \left (\frac{-n^2 \pi^2 \eta_x t}{x_e^2} \right ) \cos \frac{n\pi x_w}{x_e} \cos \frac{n \pi x}{x_e} \right ] \end{equation*}

б) Точечный источник в точке x_w, граница постоянного давления. Пласт шириной x_e.

VIII(x)   \begin{equation*} \frac{2}{x_e} \sum_{n=1}^{\infty} \exp \left (\frac{-n^2 \pi^2 \eta_x t}{x_e^2} \right ) \sin \frac{n\pi x_w}{x_e} \sin \frac{n \pi x}{x_e} \end{equation*}

в) Точечный источник в точке x_w, смешанные границы — одна постоянного давления, вторая замкнутый пласт. Пласт шириной x_e.

IX(x)   \begin{equation*} \frac{2}{x_e} \sum_{n=1}^{\infty} \exp \left (\frac{-(2n+1)^2 \pi^2 \eta_x t}{4 x_e^2} \right ) \cos \frac{(2n+1)\pi x_w}{x_e} \cos \frac{(2n+1) \pi x}{x_e} \end{equation*}

г) Пластина шириной x_f, с центром в x_w, непроницаемые границы. Пласт шириной x_e.

X(x)   \begin{equation*} \frac{x_f}{x_e} \left[1 + \frac{4x_e}{\pi x_f} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \exp \left (\frac{-n^2 \pi^2 \eta_x t}{x_e^2} \right ) \sin \frac{n\pi x_f}{2x_e} \cos \frac{n \pi x_w}{x_e} \cos \frac{n \pi x}{x_e} \right ] \end{equation*}

д) Пластина шириной x_f, с центром в x_w, граница постоянного давления. Пласт шириной x_e.

XI(x)   \begin{equation*} \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \exp \left (\frac{-n^2 \pi^2 \eta_x t}{x_e^2} \right ) \sin \frac{n\pi x_f}{2x_e} \sin \frac{n \pi x_w}{x_e} \sin \frac{n \pi x}{x_e} \right ] \end{equation*}

е) Пластина шириной x_f, с центром в x_w, смешанные границы — одна постоянного давления, вторая замкнутый пласт. Пласт шириной x_e.

XII(x)   \begin{equation*} \frac{8}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n+1} \exp \left (\frac{-(2n+1)^2 \pi^2 \eta_x t}{4 x_e^2} \right ) \sin \frac{(2n+1)\pi x_f}{4x_e} \cos \frac{(2n+1) \pi x_w}{x_e} \cos \frac{(2n+1) \pi x}{x_e} \right ] \end{equation*}

Теперь рассмотрим несколько практических задач.

1) Cкважина представлена бесконечно тонкой линией нулевого радиуса (line-source well) r_w \to 0 в бесконечном пласте.

Для плоско-параллельного течения, когда скважина или трещина вскрывает весь пласт или вскрывает его бесконечно — линии тока расположены параллельно в плоскости (x,y). Третье измерение z не влияет на вид течения, а существует в виде пропорционального множителя h к решению. Только для иллюстрации скважину можно представить как пересечение в двух проекциях (x,z) и (y,z) точечных источников, которые в проекции z превращаются в плоскости.

    \[ \Delta p(x,y,t) = \frac{q}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t \frac{1}{2 \sqrt{\eta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi t }} \cdot \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta t} \right ] \cdot \frac{1}{2 \sqrt{\eta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi t }} \cdot \exp \left [ -\frac{(y-y_w)^2}{4 \eta t} \right ] dt = \]

    \[ \Delta p(x,y,t) = \frac{q}{\phi c_t} \cdot \frac{1}{4 \eta \pi} \, \int\limits_0^t \frac{1}{t} \cdot \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2 + (y-y_w)^2}{4 \eta t} \right ] dt \]

Общий дебит скважины,

    \[ q_w = q \cdot h \]

И перепад давления в итоге совпадает с решением Хорнера,

    \[ \Delta p(x,y,t) = \frac{q_w \mu}{4 \pi kh} \, \int\limits_0^t \frac{1}{t} \cdot \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2 + (y-y_w)^2}{4 \eta t} \right ] dt \]

2) Вертикальная скважина в замкнутом прямоугольном пласте. Для этого случая параллельного течения, координата z присутствует только как множитель h. Скважина расположена в месте пересечения двух решений точечного источника с непроницаемыми границами.

    \[ \Delta p(x,y,t) = \frac{q}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t \frac{1}{x_e} \left[1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \exp \left (\frac{-n^2 \pi^2 \eta_x t}{x_e^2} \right ) \cos \frac{n\pi x_w}{x_e} \cos \frac{n \pi x}{x_e} \right ] \cdot \]

    \[ \cdot \frac{1}{y_e} \left[1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \exp \left (\frac{-n^2 \pi^2 \eta_y t}{y_e^2} \right ) \cos \frac{n\pi y_w}{y_e} \cos \frac{n \pi y}{y_e} \right ] dt \]

Полученный интеграл удобней всего решить численно.

3) Вертикальная трещина шириной x_f вскрывающая пласт. Трещина представлена как пересечение пластины в направлении x и точечного источника в направлении y.

    \[ \Delta p(x,y,t) = \frac{q}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t \frac{x_f}{x_e} \left[1 + \frac{4x_e}{\pi x_f} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \exp \left (\frac{-n^2 \pi^2 \eta_x t}{x_e^2} \right ) \sin \frac{n\pi x_f}{2x_e} \cos \frac{n \pi x_w}{x_e} \cos \frac{n \pi x}{x_e} \right ] \cdot \]

    \[ \cdot \frac{1}{y_e} \left[1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \exp \left (\frac{-n^2 \pi^2 \eta_y t}{y_e^2} \right ) \cos \frac{n\pi y_w}{y_e} \cos \frac{n \pi y}{y_e} \right ] dt \]

Общий дебит скважины,

    \[ q_w = q \cdot h \cdot x_f \]

Делая предположение, что коэффициенты диффузии в направлении x и y не отличаются, можно сделать переход к безразмерному времени.

    \[ t_{DA} = \frac{\eta \cdot t}{x_e \cdot y_e} \]

    \[ \Delta p\left(\frac{x}{x_e},\frac{y}{y_e},t_{DA} \right) =\frac{q x_f}{\phi c_t \eta} \, \int\limits_0^{t_{DA}} \left[1 + \frac{4x_e}{\pi x_f} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \exp \left (-n^2 \pi^2 \frac{y_e}{x_e} t_{DA}} \right ) \sin \frac{n\pi x_f}{2x_e} \cos \frac{n \pi x_w}{x_e} \cos \frac{n \pi x}{x_e} \right ] \cdot \]

    \[ \left[1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \exp \left (-n^2 \pi^2 \frac{x_e}{y_e} t_{DA}} \right ) \cos \frac{n\pi y_w}{y_e} \cos \frac{n \pi y}{y_e} \right ] \, dt_{DA} \]

Раскрывая коэффициент диффузии и общий дебит скважины, получим безразмерное давление,

    \[ p_D = 2 \pi \frac{kh}{\mu} \frac{1}{q_w} \Delta p \]

    \[ p_D = 2\pi \int\limits_0^{t_{DA}} \left[1 + \frac{4x_e}{\pi x_f} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \exp \left (-n^2 \pi^2 \frac{y_e}{x_e} t_{DA}} \right ) \sin \frac{n\pi x_f}{2x_e} \cos \frac{n \pi x_w}{x_e} \cos \frac{n \pi x}{x_e} \right ] \cdot \]

    \[ \left[1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \exp \left (-n^2 \pi^2 \frac{x_e}{y_e} t_{DA}} \right ) \cos \frac{n\pi y_w}{y_e} \cos \frac{n \pi y}{y_e} \right ] \, dt_{DA} \]

Для частного случая скважины расположенной в центре квадратной области, рассчитанные динамики забойного давления при разной длине трещины x_e/x_f,

В следующих статьях, Alain Gringarten показывает переход от допущения о равномерном притоке к трещине, когда дебит «элемента» трещины определяется пропорционально площади, к учету неравномерности притока к трещине. Используя свойство линейности уравнения диффузии, можно итоговое решение представить как сумму действующих источников (суперпозиция). Для этого, площадь трещины делится на M участков «микротрещин» и общее решение складывается из M решений.

1 Comment

  1. Уведомление: Расчет скважины с ГРП — Практическое моделирование

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Архивы

Яндекс.Метрика