Решение задач нестационарного притока к скважине

В начале 70-х годов, Alain Gringarten опубликовал ряд замечательных статей. Начиная с диссертации «Unsteady-state pressure distributions created by a well with a single horizontal fracture, partial penetration, or restricted entry» (1971) выходят следующие статьи:

«The use of source and Green`s functions in solving unsteady-flow problem in reservoirs» (Oct 1973), «Unsteady-State pressure distribution created by a well with a single infinty-conductivity vertical fracture» (Aug 1974), «An approximate infinite conductivity solution for a partially penetrating line-source well» (Apr 1975).

По материалам этих статей я и подготовил этот пересказ.

***

Неустановившееся течение сжимаемой жидкости в однородной области пласта $D$ ограниченной поверхностью $S_e$ описывается уравнением диффузии. Предполагая постоянными проницаемость, пористость и вязкость флюида и пренебрегая гравитацией давление в точке $M$ определяется уравнением,

$\eta_x \,\frac{\partial^2 p(M,t)}{\partial x^2} + \eta_y \,\frac{\partial^2 p(M,t)}{\partial y^2} + \eta_z \, \frac{\partial^2 p(M,t)}{\partial z^2} = \frac{\partial p(M,t)}{\partial t}$

Для цилиндрических координат,

$\eta_r \, \frac{1}{\partial r} \left ( r \, \frac{\partial p(M,t)}{\partial r} \right ) + \eta_z \frac{\partial^2 p(M,t)}{\partial z^2} = \frac{\partial p(M,t)}{\partial t}$

Коэффициенты диффузии по направлениям определяют анизотропию проницаемости, где $j = x,y,z,r$ .

$\eta_j = \frac{k_j}{\phi \mu c_t}$

Для бесконечного пласта или пласта ограниченного плоскостями перпендикулярными основным осям направленности проницаемости, задача в анизотропном пласте может быть упрощена до задачи изотропного пласта. Что также выполнимо и для цилиндрических координат, где рассматриваемая область ограничена плоскостью перпендикулярной оси $z$ и цилиндрической поверхностью вокруг оси $z$ .

Умножив уравнение диффузии на коэффициент анизотропии $\sqrt{k/k_j}$ , получим общее уравнение для однородного пласта,

$\eta \, \nabla^2 p(M,t) = \frac{\partial p(M,t)}{\partial t}$

Чтобы получить единственное решение уравнения $p(M,t)$ требуется задать начальное пластовое давление в области $D$ и граничное условие на $S_e$ . Это либо фиксированный поток через границу (задача Неймана) или постоянное значение давления на границе (задача Дирхле). Также можно задать и смешанные условия, когда на одной границе задан поток, а на другой давление.

Для линейной задачи ранее было получено следующее общее решениe,

$p(x,t) = \int_a^b p(\xi, 0) G(x,t|\xi,0) d\xi + \eta \, \int_0^t \int_a^b \, G(x,t|\xi,\tau) \, g(\xi,\tau) \, d\xi\, d\tau +$

$\eta \, \int_0^t \left [ G(x,t|\xi,\tau) \, \frac{\partial p(\xi,\tau)}{\partial \xi} - p(\xi,\tau) \, \frac{\partial G(x,t|\xi,\tau)}{\partial \xi} \right ] \Bigg |_{\xi=a}^{\xi=b} \, d\tau$

Рассмотрим теперь общее решение для области $D$ с границей $S_e$ для точки $M\in D$ ,

$p(M,t) = \int\limits_D p(\xi, 0) G(M,t|\xi,0) d\xi - \frac{1}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t \int\limits_D \, G(M,t|\xi,\tau) \, q(\xi,\tau) \, d\xi \, d\tau +$

$\eta \, \int\limits_0^t \int\limits_{S_e} \left [ G(M,t|\xi,\tau) \, \frac{\partial p(\xi,\tau)}{\partial n(\xi)} - p(\xi,\tau) \, \frac{\partial G(M,t|\xi,\tau)}{\partial n(\xi)} \right ]dS_e \, d\tau$

Здесь генерирующая функция $g(\xi,\tau)$ уточнена до функции удельного дебита единицы объема $q(M,\tau)$ со знаком минус. Переходя к рассмотрению перепада давления, как разницу между начальным и текущим давлением,

$\Delta p(M,t) = \int\limits_D p(\xi, 0) G(M,t|\xi,0) d\xi - p(M,t)$

и упрощая написание функции $G(x,t|M,\tau)$ , получим,

$\Delta p(M,t) = \frac{1}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t \int\limits_D \, G\, q(\xi,\tau) \, d\xi \, d\tau - \eta \, \int\limits_0^t \int\limits_{S_e} \left [ G \, \frac{\partial p(\xi,\tau)}{\partial n(\xi)} - p(\xi,\tau) \, \frac{\partial G}{\partial n(\xi)} \right ]dS_e \, d\tau$

Здесь первый член отвечает за работу точечного потребителя с заданным дебитом, второй член отвечает за внешние граничные условие, который также состоит из двух составляющих, из которых только один не равен нулю.

$\int\limits_{S_e} \left [ G \, \frac{\partial p(\xi,\tau)}{\partial n(\xi)} - p(\xi,\tau) \, \frac{\partial G}{\partial n(\xi)} \right ]dS_e$

Если задан приток через внешнюю границу, тогда производная функции Грина зануляется,

${\frac{\partial p(\xi,\tau)}{\partial n(\xi)} = define, \, \, \frac{\partial G}{\partial n(\xi)} = 0$

И также если задано давление на внешней границе,

$p(\xi,\tau)\Bigg |_{\xi\in {S_e}} = define, \,\, G = 0$

Если область $D$ бесконечна или ограничена, причем что на границе задано условие нулевого притока (ограниченный пласт) или поддержания постоянного давление на границе, составляющая граничных условий обнуляется и перепад давления и упрощается до,

$\Delta p(M,t) = \frac{1}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t \int\limits_D \, G\, q(\xi,\tau) \, d\xi \, d\tau$

Если единичный источник работает с постоянным дебитом, тогда

$\Delta p(M,t) = \frac{1}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t q(\tau) \cdot S(\xi,t-\tau) d\tau$

где функция мгновенного источника работающего с постоянным дебитом,

$S(\xi,t-\tau)= \int\limits_D \, G(x,t|\xi,\tau) \, d\xi$

Albert Newman в статье «Heating and Cooling Rectangular and Cylindrical Solids» (1936) показал, что если начальная температура тела постоянна и на границе тела поддерживается постоянная температура, то решение трехмерной задачи теплопроводности можно представить как произведение трех одномерных задач.

Работа скважины в ограниченном или бесконечном пласте соответствует предложенным начальным и граничным условиям, поэтому можно сформулировать следующее — функция мгновенного источника для пласта, которая может быть представлена как пересечение двух одномерных пластов, равна произведению функций мгновенных источников для каждого одномерного пласта.

$S(x,y,t)= S(x,t) \cdot S(y,t)$

$S(r,z,t)= S(r,t) \cdot S(z,t)$

Для конструирования многомерных функций мгновенного источника, нам потребуется два простых вида источников, известных для одномерного бесконечного пласта. Это функция мгновенного точечного источника, расположенного в точке $x_w$ , где под $x$ может пониматься $y$ или $z$ .

I(x) $\begin{equation*} S(x,t) = \frac{1}{2 \sqrt{\eta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi t }} \cdot \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta t} \right ] \end{equation*}$

И функция мгновенного источника, для пластины шириной $x_f$ , с центром пластины в $x_w$ ,

II(x) $\begin{equation*} S(x,t) = \frac{1}{2} \left [ \mathtt{erf} \, \frac{x - (x_w - x_f/2)}{2 \sqrt{\eta t}} - \mathtt{erf} \, \frac{x - (x_w + x_f/2)}{2 \sqrt{\eta t}} \right ] \end{equation*}$

Влияние непроницаемых границ или границ поддержания постоянного давления учитывается методом отражений, применение которого приведено в статье «Effect partial penetration on pressure build-up in oil wells«. Для повышения сходимости суммирования при малых значения времени, применяется формула суммирования Пуассона,

$\sum_{-\infty}^{+\infty }\exp \left [ -\frac{(x-x_w + 2nL)^2}{4 \eta t} \right ] = \frac{\sqrt{\pi \eta t}}{L} \left[1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \cos \frac{n \pi (x - x_w)}{L} \cdot \exp \left (\frac{-n^2 \pi^2 \eta t}{L^2} \right ) \right ]$

Для одномерного пласта с границами.

a) Точечный источник в точке $x_w$ , непроницаемые границы. Пласт шириной $x_e$ .

VII(x) $\begin{equation*} \frac{1}{x_e} \left[1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \exp \left (\frac{-n^2 \pi^2 \eta_x t}{x_e^2} \right ) \cos \frac{n\pi x_w}{x_e} \cos \frac{n \pi x}{x_e} \right ] \end{equation*}$

б) Точечный источник в точке $x_w$ , граница постоянного давления. Пласт шириной $x_e$ .

VIII(x) $\begin{equation*} \frac{2}{x_e} \sum_{n=1}^{\infty} \exp \left (\frac{-n^2 \pi^2 \eta_x t}{x_e^2} \right ) \sin \frac{n\pi x_w}{x_e} \sin \frac{n \pi x}{x_e} \end{equation*}$

в) Точечный источник в точке $x_w$ , смешанные границы — одна постоянного давления, вторая замкнутый пласт. Пласт шириной $x_e$ .

IX(x) $\begin{equation*} \frac{2}{x_e} \sum_{n=1}^{\infty} \exp \left (\frac{-(2n+1)^2 \pi^2 \eta_x t}{4 x_e^2} \right ) \cos \frac{(2n+1)\pi x_w}{x_e} \cos \frac{(2n+1) \pi x}{x_e} \end{equation*}$

г) Пластина шириной $x_f$ , с центром в $x_w$ , непроницаемые границы. Пласт шириной $x_e$ .

X(x) $\begin{equation*} \frac{x_f}{x_e} \left[1 + \frac{4x_e}{\pi x_f} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \exp \left (\frac{-n^2 \pi^2 \eta_x t}{x_e^2} \right ) \sin \frac{n\pi x_f}{2x_e} \cos \frac{n \pi x_w}{x_e} \cos \frac{n \pi x}{x_e} \right ] \end{equation*}$

д) Пластина шириной $x_f$ , с центром в $x_w$ , граница постоянного давления. Пласт шириной $x_e$ .

XI(x) $\begin{equation*} \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \exp \left (\frac{-n^2 \pi^2 \eta_x t}{x_e^2} \right ) \sin \frac{n\pi x_f}{2x_e} \sin \frac{n \pi x_w}{x_e} \sin \frac{n \pi x}{x_e} \right ] \end{equation*}$

е) Пластина шириной $x_f$ , с центром в $x_w$ , смешанные границы — одна постоянного давления, вторая замкнутый пласт. Пласт шириной $x_e$ .

XII(x) $\begin{equation*} \frac{8}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n+1} \exp \left (\frac{-(2n+1)^2 \pi^2 \eta_x t}{4 x_e^2} \right ) \sin \frac{(2n+1)\pi x_f}{4x_e} \cos \frac{(2n+1) \pi x_w}{x_e} \cos \frac{(2n+1) \pi x}{x_e} \right ] \end{equation*}$

Теперь рассмотрим несколько практических задач.

1) Cкважина представлена бесконечно тонкой линией нулевого радиуса (line-source well) $r_w \to 0$ в бесконечном пласте.

Для плоско-параллельного течения, когда скважина или трещина вскрывает весь пласт или вскрывает его бесконечно — линии тока расположены параллельно в плоскости $(x,y)$ . Третье измерение $z$ не влияет на вид течения, а существует в виде пропорционального множителя $h$ к решению. Только для иллюстрации скважину можно представить как пересечение в двух проекциях (x,z) и (y,z) точечных источников, которые в проекции z превращаются в плоскости.

$\Delta p(x,y,t) = \frac{q}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t \frac{1}{2 \sqrt{\eta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi t }} \cdot \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta t} \right ] \cdot \frac{1}{2 \sqrt{\eta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi t }} \cdot \exp \left [ -\frac{(y-y_w)^2}{4 \eta t} \right ] dt =$

$\Delta p(x,y,t) = \frac{q}{\phi c_t} \cdot \frac{1}{4 \eta \pi} \, \int\limits_0^t \frac{1}{t} \cdot \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2 + (y-y_w)^2}{4 \eta t} \right ] dt$

Общий дебит скважины,

$q_w = q \cdot h$

И перепад давления в итоге совпадает с решением Хорнера,

$\Delta p(x,y,t) = \frac{q_w \mu}{4 \pi kh} \, \int\limits_0^t \frac{1}{t} \cdot \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2 + (y-y_w)^2}{4 \eta t} \right ] dt$

2) Вертикальная скважина в замкнутом прямоугольном пласте. Для этого случая параллельного течения, координата $z$ присутствует только как множитель $h$ . Скважина расположена в месте пересечения двух решений точечного источника с непроницаемыми границами.

$\Delta p(x,y,t) = \frac{q}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t \frac{1}{x_e} \left[1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \exp \left (\frac{-n^2 \pi^2 \eta_x t}{x_e^2} \right ) \cos \frac{n\pi x_w}{x_e} \cos \frac{n \pi x}{x_e} \right ] \cdot$

$\cdot \frac{1}{y_e} \left[1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \exp \left (\frac{-n^2 \pi^2 \eta_y t}{y_e^2} \right ) \cos \frac{n\pi y_w}{y_e} \cos \frac{n \pi y}{y_e} \right ] dt$

Полученный интеграл удобней всего решить численно.

3) Вертикальная трещина шириной $x_f$ вскрывающая пласт. Трещина представлена как пересечение пластины в направлении $x$ и точечного источника в направлении $y$ .

$\Delta p(x,y,t) = \frac{q}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t \frac{x_f}{x_e} \left[1 + \frac{4x_e}{\pi x_f} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \exp \left (\frac{-n^2 \pi^2 \eta_x t}{x_e^2} \right ) \sin \frac{n\pi x_f}{2x_e} \cos \frac{n \pi x_w}{x_e} \cos \frac{n \pi x}{x_e} \right ] \cdot$

$\cdot \frac{1}{y_e} \left[1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \exp \left (\frac{-n^2 \pi^2 \eta_y t}{y_e^2} \right ) \cos \frac{n\pi y_w}{y_e} \cos \frac{n \pi x}{y_e} \right ] dt$

Используя свойство линейности уравнения диффузии, можно итоговое решение представить как сумму действующих источников (суперпозиция) и рассмотреть более сложные типы заканчивания.

В следующих статьях, Alain Gringarten показывает переход от допущения о равномерном притоке к трещине, когда дебит «элемента» трещины определяется пропорционально площади, к учету неравномерности притока к трещине. Для этого, площадь трещины делится на $M$ участков «микротрещин» и общее решение складывается из $M$ решений. О чем я и постараюсь рассказать в следующей заметке.

Практическое моделирование

Решение задач нестационарного притока к скважине

Добавить комментарий Отменить ответ

Комментарии

Архивы