Effect Partial Penetration on Pressure Build-Up in Oil Wells (1958)

В диссертации Alain Gringarten 1971 года упоминается работа Robert Nisle (1958), в которой тот первым в нефтяной инженерии, применил метод создания уравнений распределения давления во времени и пространстве используя понятие о мгновенном объемном источнике. Статья мне показалось интересной, содержащей хорошую иллюстрацию переноса решений из фундаментальной книги «Conduction of Heat in Solids» H.S.Carslaw и J.C.Jaeger (1947) к нашим скважинам.

***

Начиная с первых работ Хорнера и ван Эвердингена, решение уравнения диффузии ограничено случаем скважины полностью вскрывающей продуктивный пласт. Возникающая при таком представлении радиальная симметрия позволяет значительно упростить решение задачи. Эвердинген представил точное решение, которое кажется всё таки редко применяется из-за сложности необходимых вычислений. Хорнер, используя метод точечного источника, предложил более простое и удобное решение.

В теории теплопроводности представление о мгновенном точечном источнике, оказалось чрезвычайно плодотворным. С теоретической точки зрения всегда признавалось, что в случае точечного источника, получается решение пропорциональное $\mathtt{(1/r)}$ , которое встречается в теории потенциала. Одно из больших преимуществ этого метода, заключается в простом физическом представлении, что дает возможность получить решение практических задач исходя из фундаментальных представлений.

В данной работе метод точечного источника расширяется и на случай частичного вскрытии пласта скважиной.

Для основного уравнения диффузии,

$\mathtt{ \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 p}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 p}{\partial z^2} = \frac{1}{\eta} \cdot \frac{\partial p}{\partial t} }$

изменение давления вызванное мгновенным точечным источником,

$\mathtt{ \Delta p(r,t) = \frac{q}{8 \phi c (\pi \eta t)^{3/2}} \cdot exp \left (-\frac{r^2}{4\eta t} \right )}$

$\mathtt{ r = \sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2 } }$

Суммируя действие точечного источника по соответствующим координатам и времени, можно получить решения для мгновенных и непрерывных линейных, плоских, сферических и цилиндрических источников, причем каждое имеет свою собственную простую физическую интерпретацию.

Рассмотрим бесконечный линейный источник проходящую через точку $\mathtt{(x',y')}$ , параллельно оси $\mathtt{z}$ .

Просуммируем действие мгновенных источников вдоль бесконечной линии,

$\mathtt{ \Delta p = \frac{q}{8 \phi c (\pi \eta t)^{3/2}} \cdot exp \left (-\frac{(x-x')^2 + (y-y')^2}{4\eta t} \right ) \cdot \int_{-\infty}^{\infty} exp \left (-\frac{(z-z')^2}{4\eta t} \right ) \, dz' }$

приведем интеграл в правой части к гауссову интегралу, который равен корню из пи,

$\mathtt{ \int_{-\infty}^{\infty} exp \left (- a^2 \right ) \, da= \sqrt{\pi} }$

Делая замену,

$\mathtt{ a = -\frac{z-z'}{\sqrt{4 \eta t} } }$

$\mathtt{ \int_{-\infty}^{\infty} exp \left (-\frac{(z-z')^2}{4\eta t} \right ) \, dz' = \int_{-\infty}^{\infty} exp \left (-a^2 \right ) \sqrt{4\eta t}\, da = \sqrt{4 \pi \eta t} }$

Получим решение для мгновенного бесконечного линейного источника,

$\mathtt{ \Delta p = \frac{q}{4 \phi c (\pi \eta t) } \cdot exp \left (-\frac{(x-x')^2 + (y-y')^2}{4\eta t} \right ) }$

К моменту времени $\mathtt{T}$ каждый мгновенный источник отработал время $\mathtt{(T-t')}$ от своего запуска в момент времени $\mathtt{t'}$ . Просуммируем действие мгновенных источников, чтобы найти решение для постоянно действующего источника,

$\mathtt{ \Delta p = \frac{q}{4 \phi c (\pi \eta) } \int_0^T \frac{1}{(T-t')} \cdot exp \left (-\frac{r^2}{4\eta (T-t')} \right ) \, dt' }$

Проведем замену,

$\mathtt{ v = \frac{r^2}{4\eta(T-t')}}$

$\mathtt{ dv = \frac{r^2}{4\eta}\cdot \frac{1}{(T-t')^2} \, dt' }$

Пределы интегрирования,

$\mathtt{ t` = 0, v = \frac{r^2}{4\eta\cdot T}}$

$\mathtt{ t` = T, v = \infty}$

получим, что

$\mathtt{ \Delta p = \frac{q}{4 \phi c (\pi \eta) } \int_{\frac{r^2}{4\eta\cdot T}}^\infty \frac{ e^{-v}}{v} dv }$

Интеграл в правой части, называется интегральной показательной функцией,

$\mathtt{ Ei(x) = - \int_{-x}^\infty \frac{e^{-x}}{x} \, dx }$

В формуле мгновенного источника под $\mathtt{q}$ понимается удельный на метр источник дебита, добывающая скважина является источником со знаком минус (стоком), поэтому $\mathtt{q_0 = -q \cdot h}$ ,

$\mathtt{ \Delta p = \frac{q_0 B \mu}{4 h kh } \cdot Ei \left (-\frac{r^2}{4\eta\cdot T} \right) }$

В таком виде решение было получено Хорнером.

Рассмотрим линейный источник ограниченной длины, который расположен вблизи непроницаемой границы пласта. Непроницаемую границу можно устранить, построив зеркальное отражение источника, работающего с той же интенсивностью.

Найдем суммарное действие полученного линейного источника,

$\mathtt{ \Delta p = \frac{q}{8 \phi c (\pi \eta t)^{3/2}} \cdot exp \left (-\frac{(x-x')^2 + (y-y')^2}{4\eta t} \right ) \cdot \int_{-h}^{+h} exp \left (-\frac{(z-z')^2}{4\eta t} \right ) \, dz' }$

Интеграл в правой части ранее уже встречался, но с другими пределами,

$\mathtt{ \int_{-h}^{+h} exp \left (-\frac{(z-z')^2}{4\eta t} \right ) \, dz' = -\sqrt{4\eta t} \int_\frac{z-h}{\sqrt{4\eta t}}^\frac{z+h}{\sqrt{4\eta t}} exp (-a^2) \, da }$

Здесь появляется специальная функция ошибок,

$\mathtt{ erf \, x = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} dt }$

Решение для мгновенного линейного источника запишется как,

$\mathtt{ \Delta p = \frac{q}{4 \phi c (\pi \eta t)} \cdot exp \left (-\frac{r^2}{4\eta t} \right ) \cdot \frac{1}{2} \cdot \left (erf \, \frac{z+h}{\sqrt{4\eta t}} - erf \, \frac{z-h}{\sqrt{4\eta t}} \right ) }$

Продолжая рассуждения перейдем к частично вскрывающему бесконечный пласт источнику. Две непроницаемых границы дают нам ситуацию двух зеркал поставленных друг напротив друга, в которых бесконечно отражается наша скважина. Попробуем сначала избавиться от верхней границы, получив характерный уже знакомый нам элемент симметрии,

Ещё раз построим отражение верхней границы, а затем отразив всю конструкцию от нижней границы, начет проявляется ритмичность,

В итоге к решению полученному при первом отражении добавляется бесконечное число ритмичных отражений в отрицательном и положительном направлениях,

$\mathtt{ \Delta p = \frac{q}{4 \phi c (\pi \eta t)} \cdot exp \left (-\frac{r^2}{4\eta t} \right ) \Bigg[ \Bigg. \frac{1}{2} \cdot \left (erf \, \frac{z+h}{\sqrt{4\eta t}} - erf \, \frac{z-h}{\sqrt{4\eta t}} \right ) + }$

$\mathtt{ + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left (erf \, \frac{z - (2nL - h)}{\sqrt{4\eta t}} - erf \, \frac{z-(2nL+h)}{\sqrt{4\eta t}} \right ) + }$

$\mathtt{ + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left (erf \, \frac{z + (2nL + h)}{\sqrt{4\eta t}} - erf \, \frac{z+(2nL-h)}{\sqrt{4\eta t}} \right ) \Bigg. \Bigg] }$

Далее перейдем от мгновенного к постоянно действующему источнику,

$\mathtt{ \Delta p = \frac{q_0 B \mu}{4 \pi kh} \int_0^T \frac{1}{(T-t)} \cdot exp \left (-\frac{r^2}{4\eta (T-t)} \right ) \cdot }$

$\mathtt{ \Bigg[ \Bigg. \frac{1}{2} \cdot \left (erf \, \frac{z+h}{\sqrt{4\eta (T-t)}} - erf \, \frac{z-h}{\sqrt{4\eta (T-t)}} \right ) + }$

$\mathtt{ + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left (erf \, \frac{z - (2nL - h)}{\sqrt{4\eta (T-t)}} - erf \, \frac{z-(2nL+h)}{\sqrt{4\eta (T-t)}} \right ) + }$

$\mathtt{ + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left (erf \, \frac{z + (2nL + h)}{\sqrt{4\eta (T-t)}} - erf \, \frac{z+(2nL-h)}{\sqrt{4\eta (T-t)}} \right ) \Bigg. \Bigg] dt }$

Для решения интеграла нам поможет численное интегрирование.

Мне показалось, что автор хотел привести вывод для скважины вскрывающей пласт на некотором расстоянии от кровли и подошвы. С этой целью видимо автор сохраняет в выводах переменную $\mathtt{z}$ , однако в дальнейшем от переменной избавляются.

Принимая $\mathtt{z = 0}$ , формула итоговая будет проще, за счёт симметрии относительно нуля влияние отражений удваивается,

$\mathtt{ \Delta p = \frac{q_0 B \mu}{4 \pi kh} \int_0^T \frac{1}{(T-t)} \cdot exp \left (-\frac{r^2}{4\eta (T-t)} \right ) \cdot }$

$\mathtt{ \Bigg[ \Bigg. \frac{1}{2} \cdot \left (2 \cdot erf \, \frac{h}{\sqrt{4\eta (T-t)}} \right ) + }$

$\mathtt{ + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left (2 \cdot erf \, \frac{(2nL + h)}{\sqrt{4\eta (T-t)}} - 2 \cdot erf \, \frac{(2nL-h)}{\sqrt{4\eta (T-t)}} \right ) \Bigg. \Bigg] dt }$

И дает более простую запись,

$\mathtt{ \Delta p = \frac{q_0 B \mu}{4 \pi kh} \int_0^T \frac{1}{(T-t)} \cdot exp \left (-\frac{r^2}{4\eta (T-t)} \right ) \cdot }$

$\mathtt{ \cdot \Bigg[ \Bigg. erf \, \frac{h}{\sqrt{4\eta (T-t)}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left (erf \, \frac{(2nL + h)}{\sqrt{4\eta (T-t)}} - erf \, \frac{(2nL-h)}{\sqrt{4\eta (T-t)}} \right ) \Bigg. \Bigg] dt }$

Свойства пласта и дебит скважины сворачиваются в безразмерную переменную,

$\mathtt{ \bar{Q} = \frac{q_0 B \mu}{4 \pi kh} }$

Степень вскрытия пласта,

$\mathtt{ b = \frac{h}{L} }$

Пьезопроводность пласта и толщина, образуют переменную,

$\mathtt{ Y = L \cdot \sqrt{\frac{1}{4\eta} }}$

В итоге расчетное уравнение принимает вид,

$\mathtt{ \Delta p = \bar{Q} \int_0^T \frac{1}{(T-t)} \cdot exp \left (- \left (\frac{Yr}{L\sqrt{T-t}} \right)^2 \right ) \cdot \left[ erf \, \frac{Yb}{\sqrt{T-t}} + }$

$\mathtt{ +\sum_{n=1}^{\infty} \left (erf \, \frac{Y(2n + b)}{\sqrt{T-t}} - erf \, \frac{Y(2n-b)}{\sqrt{T-t}} \right ) \Bigg. \Bigg] dt }$

В экселе численно (не очень точно) посчитал интеграл и сравнил наложением полученные результаты с иллюстрацией приведенной в оригинальной статье.

Такой результат меня полностью устроил.

Excel файл с результатами расчета

Практическое моделирование

Добавить комментарий Отменить ответ

Комментарии

Архивы