Функции Грина. Линейные задачи.

Основное уравнение одномерного фильтрационного потока жидкости для однородного пласта без источника давления,

$\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} = \frac{1}{\eta} \cdot \frac{\partial p}{\partial t}$

Предполагая, что внутри пласта имеется источник давления, получим неоднородное уравнение,

$\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} + g(x,t) = \frac{1}{\eta} \cdot \frac{\partial p}{\partial t}$

Рассмотрим вспомогательную задачу отклика системы на единичный источник давления расположенный в точке $\xi$ , начинающий работу в момент времени $\tau$ в бесконечно протяженном пласте,

$\frac{\partial^2 G}{\partial x^2} + \frac{1}{\eta} \cdot \delta (x-\xi) \delta (t - \tau) = \frac{1}{\eta} \cdot \frac{\partial G}{\partial t}$

Здесь коэффициент $1/\eta$ перед дельта-функцией используется для приведения единиц измерения к $M^{-1}$ . Выполним преобразование Лапласа. Для этого умножим обе части уравнения на $e^{-st}$ и проинтегрируем по $t$ ,

$\int_0^\infty e^{-st} \, \frac{\partial^2 G}{\partial x^2} \, dt + \, \frac{1}{\eta} \, \int_0^\infty e^{-st} \, \delta (x-\xi) \delta (t - \tau) \, dt = \, \frac{1}{\eta} \, \int_0^\infty e^{-st} \frac{\partial G}{\partial t} \, dt$

$\frac{d^2 \=G}{d x^2} + \frac{1}{\eta} \, \delta (x-\xi) \int_0^\infty e^{-st} \, \delta (t - \tau) \, dt = \frac{1}{\eta} \left(s \=G - G(0) \right)$

Отклик системы до появления источника равен нулю,

$G(x,y|\xi,\tau) = 0, t < \tau$

Без потери общности, будем считать что источник начинает работу в момент времени $\tau = 0$ , что позволит применить свойство фильтрации дельта функции,

$\frac{d^2 \=G}{d x^2} + \frac{1}{\eta} \, \delta (x-\xi) e^{-s \cdot 0} = \frac{s}{\eta} \cdot \=G$

$\frac{d^2 \=G}{d x^2} + \frac{1}{\eta} \, \delta (x-\xi) = \frac{s}{\eta} \cdot \=G$

Чтобы исключить $\delta(x-\xi)$ из уравнения, поделим бесконечный пласт на два региона,

$\frac{d^2 \=G_a}{d x^2} - \frac{s}{\eta} \cdot \=G_a = 0, -\infty<x<\xi$

$\frac{d^2 \=G_b}{d x^2} - \frac{s}{\eta} \cdot \=G_b = 0, \xi<x<+\infty$

Проведем замену,

$\sigma^2 = \frac{s}{\eta}$

$\frac{d^2 \=G_a}{d x^2} - \sigma^2 \cdot \=G_a = 0, -\infty<x<\xi$

$\frac{d^2 \=G_b}{d x^2} - \sigma^2 \cdot \=G_b = 0, \xi<x<+\infty$

Общее решение однородного уравнения будем искать подстановкой $G = e^{\sigma x}$ , тогда,

$\=G_a = C_1 e^{\sigma x} + C_2 e^{-\sigma x}$

$\=G_b = C_3 e^{\sigma x} + C_4 e^{-\sigma x}$

Четыре константы требуют четырех дополнительных условий. Первые два следуют из того, что функция $G$ является ограниченной функцией не равной бесконечности. Значит для левого региона, при $x = -\infty$ ,

$\=G_a = C_1 e^{\sigma x} + C_2 e^{-\sigma x}$

$\=G_a = C_1 e^{\sigma -\infty } + C_2 e^{-\sigma -\infty}$

Коэффициент при $C_2=0$ .

Для правого региона, при $x = + \infty$ ,

$\=G_b = C_3 e^{\sigma + \infty} + C_4 e^{-\sigma + \infty}$

Коэффициент при $C_3=0$ , поэтому

$\=G_a = C_1 e^{\sigma x}$

$\=G_b = C_4 e^{-\sigma x}$

Из условия непрерывности функции $G$ следует третье условие,

$\=G_a \Bigg |_{x=\xi} = \=G_b \Bigg |_{x=\xi}$

$C_1 e^{\sigma \xi} = C_4 e^{-\sigma \xi}$

И четвертым условием выступает разрывность производной функции $G$ в точке $\xi$ . Найдем интеграл в диапазоне $[\xi-\epsilon,\xi+\epsilon]$ ,

$\int_{\xi-\epsilon}^{\xi+\epsilon} \frac{d^2 \=G}{d x^2} \, dx + \frac{1}{\eta} \, \int_{\xi-\epsilon}^{\xi+\epsilon} \delta (x-\xi) \, dx = \frac{s}{\eta} \int_{\xi-\epsilon}^{\xi+\epsilon} \=G \, dx$

Раскроем интеграл,

$\frac{d \=G_b}{d x} \Bigg |_{\xi+\epsilon} - \frac{d \=G_a}{d x} \Bigg |_{\xi-\epsilon} + \frac{1}{\eta} \, \int_{\xi-\epsilon}^{\xi+\epsilon} \delta (x-\xi) \, dx = \frac{s}{\eta} \int_{\xi-\epsilon}^{\xi+\epsilon} \=G \, dx$

Перейдем к пределу $\epsilon \to 0$ . Функция $G$ непрерывная, поэтому интеграл при стягивании границ к эпсилон равен нулю. Интеграл от дельта-функции равен единице,

$\frac{d \=G_b}{d x} \Bigg |_{\xi+0} - \frac{d \=G_a}{d x} \Bigg |_{\xi-0} = -\frac{1}{\eta}$

Найдем производные,

$\frac{d}{dx} \=G_a = \sigma \, C_1 e^{\sigma x}$

$\frac{d}{dx} \=G_b = -\sigma \, C_4 e^{-\sigma x}$

Получим четвертое условие,

$-\sigma \, C_4 e^{-\sigma \xi} - \sigma \, C_1 e^{\sigma \xi} = -\frac{1}{\eta}$

Решая совместно третье и четвертое уравнения,

$C_1 = \frac{1}{2\sigma \eta} \, e^{-\sigma \xi}$

$C_4 = \frac{1}{2\sigma \eta} \, e^{+\sigma \xi}$

Подставляя полученные константы,

$\=G_a = \frac{1}{2\sigma\eta} \cdot e^{-\sigma \xi} e^{\sigma x} = \frac{1}{2\sigma\eta} \, e^{-\sigma \xi + \sigma x} = \frac{1}{2\sigma\eta} \, e^{-\sigma (\xi -x)}, x<\xi$

$\=G_b = \frac{1}{2\sigma\eta}\cdot e^{+\sigma \xi} e^{-\sigma x} = \frac{1}{2\sigma\eta} \, e^{+\sigma \xi -\sigma x} = \frac{1}{2\sigma\eta} \, e^{-\sigma (x - \xi)}, x>\xi$

Два выражения можно объединить в одну функцию через модуль $|x-\xi|$ ,

$\=G = \frac{1}{2\sigma\eta} \, e^{-\sigma |x -\xi|}$

Возвращая замену $\sigma$ ,

$\=G = \frac{1}{2 \sqrt{s\eta}} \cdot \exp \left( -\sqrt{\frac{s}{\eta}} \cdot |x -\xi| \right )$

Следующим шагом необходимо найти обратное преобразование Лапласа используя табличное преобразование,

$L^{-1} \left[ \frac{1}{\sqrt s} \cdot e^{-k \sqrt s} \right ] = \frac{1}{\sqrt{\pi t}} \cdot \exp \left (-\frac{k^2}{4t} \right )}$

$G(x,t|\xi,\tau) = \frac{1}{2 \sqrt{\eta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi t}} \cdot \exp \left( -\frac{(x-\xi)^2}{4 \eta t} \right )$

При выводе предполагалось что точечный источник начинает работать в момент $\tau = 0$ . Время начала работы можно сдвинуть на величину $(t-\tau)$ .

$G(x,t|\xi,\tau) = \frac{1}{2 \sqrt{\eta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi (t-\tau) }} \cdot \exp \left [ -\frac{(x-\xi)^2}{4 \eta (t-\tau)} \right ], t>\tau$

$G(x,t|\xi,\tau) = 0, t<\tau$

Для функции Грина двух переменных, свойство симметрии аргументов больше не выполняется, как это было для случая уравнения с одной переменной. Для проверки проведем замену переменных,

$G(\xi, -\tau|x,-t) = \frac{1}{2 \sqrt{\eta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi (-\tau + t) }} \cdot \exp \left [ -\frac{(\xi-x)^2}{4 \eta (-\tau + t)} \right ], -\tau > -t$

Сравнивая записи, можно убедится в их тождественности и отметить, что переменные расстояния $x$ и $\xi$ сохраняют симметрию, тогда как переменные времени не могут быть взаимно обменены местами. Из чего следует, что

$G(x,t|\xi,\tau) = G(\xi, -\tau|x,-t)$

и функция Грина $G(x,t|\xi,\tau)$ , является также решением уравнения,

$\frac{\partial^2 G}{\partial \xi^2} + \frac{1}{\eta} \cdot \delta (\xi-x) \delta (t - \tau) = -\frac{1}{\eta} \cdot \frac{\partial G}{\partial \tau}$

Исходное уравнение в координатах $(\xi,\tau)$ сохраняет свою форму,

$\frac{\partial^2 p}{\partial \xi^2} + g(\xi,\tau) = \frac{1}{\eta} \cdot \frac{\partial p}{\partial \tau}$

Действуя аналогично случая одной переменной, умножим первое уравнение на $p(\xi,\tau)$ , второе уравнение на $G(x,t|\xi,\tau)$ и вычтем друг из друга,

$G(x,t|\xi,\tau) \, \frac{\partial^2 p(\xi,\tau)}{\partial \xi^2} - p(\xi,\tau) \, \frac{\partial^2 G(x,t|\xi,\tau)}{\partial \xi^2} + G(x,t|\xi,\tau) \, g(\xi,\tau) - \frac{p(\xi,\tau) }{\eta} \cdot \delta (\xi-x) \delta (t - \tau)$

$= G(x,t|\xi,\tau) \frac{1}{\eta} \cdot \frac{\partial p(\xi,\tau)}{\partial \tau} + p(\xi,\tau) \, \frac{1}{\eta} \cdot \frac{\partial G(x,t|\xi,\tau)}{\partial \tau}$

Проинтегрируем выражение по координате $\xi$ в интервале $a <= \xi <= b$ и по времени $\tau$ в интервале от $0 <= \tau <= t + \epsilon$ , где $\epsilon$ малое положительное число. Рассмотрим отдельно четыре возникающих группы слагаемых,

$\int_0^{t+\epsilon} \int_a^b G(x,t|\xi,\tau) \, \frac{\partial^2 p(\xi,\tau)}{\partial \xi^2} - p(\xi,\tau) \, \frac{\partial^2 G(x,t|\xi,\tau)}{\partial \xi^2} d\xi\, d\tau =$

ранее подобное подынтегральное выражение уже встречалось,

$\int_0^{t+\epsilon} \int_a^b \frac{d}{d\xi} \left [ G(x,t|\xi,\tau) \, \frac{\partial p(\xi,\tau)}{\partial \xi} - p(\xi,\tau) \, \frac{\partial G(x,t|\xi,\tau)}{\partial \xi} \right ] d\xi\, d\tau =$

$\int_0^{t+\epsilon} \left [ G(x,t|\xi,\tau) \, \frac{\partial p(\xi,\tau)}{\partial \xi} - p(\xi,\tau) \, \frac{\partial G(x,t|\xi,\tau)}{\partial \xi} \right ] \Bigg |_{\xi=a}^{\xi=b} \, d\tau$

Полученный интеграл отвечает за влияние граничных условий на общее решение. Если заданы граничные условия первого рода,

$p(a,\tau) = u_a, p(b,\tau) = u_b$

на функцию Грина накладываются однородные граничные условия,

$G(x,t|a,\tau) = 0, G(x,t|b,\tau) = 0$

позволяющие упростить интеграл,

$\int_0^{t+\epsilon} \left [0 - p(\xi,\tau) \, \frac{\partial G(x,t|\xi,\tau)}{\partial \xi} \right ] \Bigg |_{\xi=a}^{\xi=b} \, d\tau =$

$\int_0^{t+\epsilon} \left [- u_b \, \frac{\partial G(x,t|b,\tau)}{\partial \xi} + u_a \, \frac{\partial G(x,t|a,\tau)}{\partial \xi} \right ] \, d\tau$

Для граничных условий второго рода,

$p'(a,\tau) = u_a, p'(b,\tau) = u_b$

функция Грина получит следующие граничные условия,

$G'(a,\tau) = 0, G'(b,\tau) = 0$

интеграл упроститься до,

$\int_0^{t+\epsilon} \left [ G(x,t|\xi,\tau) \, \frac{\partial p(\xi,\tau)}{\partial \xi} - 0 \right ] \Bigg |_{\xi=a}^{\xi=b} \, d\tau$

$\int_0^{t+\epsilon} \left[ u_b \, G(x,t|b,\tau) - u_a \, G(x,t|b,\tau) \right ] \, d\tau$

и в самом простом случае, когда заданы однородные граничные условия любого рода интеграл сводится к нулю. Следующий интеграл отвечает за вклад в решение генерирующей функции $g(\xi,\tau)$ ,

$\int_0^{t+\epsilon} \int_a^b \, G(x,t|\xi,\tau) \, g(\xi,\tau) \, d\xi\, d\tau$

Третий интеграл, используя свойство четности дельта-функции и дважды применяя свойство фильтрации, поясняет зачем нужно было проводить переход к переменным $(\xi,\tau)$ и выделяет чистую функцию $p(x,t)$ ,

$-\frac{1}{\eta} \, \int_0^{t+\epsilon} \int_a^b \, p(\xi,\tau) \cdot \delta (\xi-x) \delta (t - \tau) \, d\xi\, d\tau = -\frac{1}{\eta} \, p(x,t)$

Четвертый интеграл,

$\frac{1}{\eta} \int_0^{t+\epsilon} \int_a^b \left [ G(x,t|\xi,\tau) \cdot \frac{\partial p(\xi,\tau)}{\partial \tau} + p(\xi,\tau) \, \cdot \frac{\partial G(x,t|\xi,\tau)}{\partial \tau} \right ] d\xi\, d\tau =$

$\frac{1}{\eta} \int_a^b \int_0^{t+\epsilon} \left [ \frac{\partial p(\xi,\tau) G(x,t|\xi,\tau)}{\partial \tau} \right ] d\tau \, d\xi=$

$= \frac{1}{\eta} \int_a^b p(\xi,\tau)\, G(x,t|\xi,\tau) \Bigg |_{\tau = 0}^{\tau = t + \epsilon} d\xi=$

$= \frac{1}{\eta} \int_a^b \left( p(\xi, t + \epsilon) \, G(x,t|\xi,t + \epsilon) - p(\xi, 0) \, G(x,t|\xi,0) \right ) d\xi=$

Здесь поясняется зачем понадобилось вводить положительный $\epsilon$ . Рассмотрим функцию $G(x,t|\xi,t + \epsilon)$ . Известно, что функция $G$ не равна нулю при $(t-\tau)>0$ . Учитывая переменные, получим что в нашем случае,

$t-\tau = t - (t + \epsilon) = -\epsilon < 0$

то есть $G(x,t|\xi,t + \epsilon) = 0$ и поэтому,

$= -\frac{1}{\eta} \int_a^b p(\xi, 0) G(x,t|\xi,0), d\xi$

Интеграл определяет вклад начальных условий в общее решение.

Последним шагом устремим $\epsilon\to 0$ , которое не повлияет на ход проделанных рассуждений. В итоге запишем общее решение уравнения фильрации для однородного пласта,

$p(x,t) = \int_a^b p(\xi, 0) G(x,t|\xi,0), d\xi + \eta \, \int_0^t \int_a^b \, G(x,t|\xi,\tau) \, g(\xi,\tau) \, d\xi\, d\tau +$

$\eta \, \int_0^t \left [ G(x,t|\xi,\tau) \, \frac{\partial p(\xi,\tau)}{\partial \xi} - p(\xi,\tau) \, \frac{\partial G(x,t|\xi,\tau)}{\partial \xi} \right ] \Bigg |_{\xi=a}^{\xi=b} \, d\tau$

Для уравнения фильтрации принято под функцией $p(x,y)$ использовать перепад давления от начального $\Delta p = p_i - p(x,y)$ . Начальное условие запишется как $\Delta p = 0$ .

Завершая рассмотрение задачи о распределении давления в бесконечном пласте, заметим, что на бесконечном удалении от источника давление также равно начальному пластовому, поэтому

$\Delta p(-\infty,t) = 0$

$\Delta p(+\infty,t) = 0$

Источник давления интенсивностью $q$ пусть сосредоточен в точке $x_0$ ,

$g(x,t) = q \cdot \delta (x - x_0)$

Решение при таких условиях значительно упрощается, до

$\Delta p(x,t) = \eta \, \int_0^t \int_{-\infty}^{+\infty} \, G(x,t|\xi,\tau) \, g(\xi,\tau) \, d\xi\, d\tau$

Подставляя выражение функции Грина для такой системы,

$\Delta p(x,t) = \eta \, \int_0^t \int_{-\infty}^{+\infty} \, \frac{1}{\sqrt{4 \pi \eta (t-\tau) }} \cdot \exp \left [ -\frac{(x-\xi)^2}{4 \eta (t-\tau)} \right ] \, q \cdot \delta (\xi - x_0) \, d\xi\, d\tau$

Раскроем интеграл по расстоянию и используя свойство дельта-функции,

$\Delta p(x,t) = q \eta \, \int_0^t \frac{1}{\sqrt{4 \pi \eta (t-\tau) }} \cdot \exp \left [ -\frac{(x-x_0)^2}{4 \eta (t-\tau)} \right ] d\tau$

Интеграл уже можно решить численно. Сделаем замену,

$z^2 = \frac{(x-x_0)^2}{4 \eta (t - \tau)}$

$2 z \, dz = \frac{(x-x_0)^2}{4 \eta (t - \tau)^2} \, d\tau = \frac{z^2}{(t - \tau)} \, d\tau$

тогда,

$\Delta p(x,t) = q u \sqrt{\eta t} \frac{1}{\sqrt\pi} \int_{u}^\infty \frac{1}{z^2} \cdot e^{-z^2} dz$

$u = \frac{|x-x_0|}{\sqrt{4\eta t}}$

Правый интеграл, используя интегрирования произведения

$\int_{u}^\infty \frac{1}{z^2} \cdot e^{-z^2} dz = \frac{e^{-u^2}}{u} - 2 \int_{u}^\infty e^{-z^2} dz = \frac{e^{-u^2}}{u} - \sqrt\pi \, \mathtt{erfc}(u)$

Получим окончательное решение, через функцию ошибок,

$\Delta p(x,t) = q \sqrt{\eta t} \left(\frac{1}{\sqrt\pi} \cdot e^{-u^2} - u \cdot \, \mathtt{erfc}(u) \right )$

В русском экселе $\mathtt{erfc}(u)$ имеет название ДФОШ.

Для примера, постоянный мгновенный источник работает в точке $x_0=5$ в бесконечном пласте.

***

Найти книги упоминающие функции Грина не сложно. Однако ни одна из книг не помогла мне уложить в голове нужную абстракцию. Мне не хотелось затрагивать ряды Фурье или разложение функции Грина по собственным значениям. Почти отчаявшись я нашел поддержку в книге «Уравнения математической физики» (1969) И.Г.Арамович и В.И.Левин. — «Несмотря на наличие богатой литературы по матфизике .. инженеры испытывают серьезные затруднения в подборе руководства по этой важной отрасли прикладной математики. Это объясняется тем, что почти все книги либо опираются на слишком большой объем математических знаний, либо написаны столь сжато, что оказываются недоступными для круга возможных читателей».

В конце концов мне повезло найти книгу «Heat Conduction Using Green’s Functions» (2011), изложение которой близко к переведенным ранее статьям Van Everdingen и R. Nisle.

Практическое моделирование

Добавить комментарий Отменить ответ

Комментарии

Архивы