Производные, частные производные и дифференциал

Рассмотрим функцию $y = f(x)$ определенную в некотором промежутке. Аргумент $x$ получая некоторое приращение $\Delta x$ , приводит к изменению функции на величину $\Delta y$ ,

$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента,

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Если предел при стремлении $\Delta x \to 0$ существует, то его называют производной функции,

$f'(x) = \lim_{\Delta x\to0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Конкретное значение производной при $x=a$ обозначается $f'(a)$ или $y' \Big |_{x=a}$ .

Возьмем на кривой $y=f(x)$ произвольную точку $M(x,y)$ и проведем касательную к кривой в этой точке.

Дадим независимой переменной приращение $\Delta x$ . Функция получит приращение $\Delta y = NP + PQ$ и точка переместится из положения $M$ в $N$ . Приращение $PQ$ линейно изменяется относительно $\Delta x$ ,

$PQ = f'(M) \cdot \Delta x$

Дифференциалом функции называют произведение $f'(M)$ на приращение $\Delta x$ и обозначают символом $dy$ ,

$dy = f'(M) \cdot \Delta x$

Дифференциал независимой переменной $dx$ совпадает с его приращением $\Delta x$ , следовательно

$dy = f'(M) \cdot dx$

Общее приращение функции состоит из дифференциала функции и некоторой части приращения $NP$ , которая стремится к нулю при малом приращении аргумента,

$\Delta y = dy + NP$

Выполняя приближенные вычисления иногда пользуются приближенным равенством,

$\Delta y \approx dy$

Пусть требуется найти дифференциал $dy$ и приращение $\Delta y$ функции $y = x^2$ .

Приращение функции $\Delta y = (x + \Delta x)^2 - (x^2) = 2x \Delta x + \Delta x^2$ .
Дифференциал функции $dy = (x^2)' \Delta x = 2 x \Delta x$ .

Если $x = 20$ и $\Delta x = 0.1$ , тогда

$\begin{equation*} \begin{align} \Delta &y = 2 \cdot 20 \cdot 0.1 + (0.1)^2 = 4.01 \\ d&y = 2 \cdot 20 \cdot 0.1 = 4.0 \end{align} \end{equation*}$

Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка и обозначается $d^2y$ . Так как $dx$ не зависит от $x$ ,

$\begin{equation*} \begin{align} d^2y = (f'(x)dx)' \, dx \\ d^2y = f''(x) \cdot dx^2 \end{align} \end{equation*}$

Дифференциал n-го порядка записывается как,

$d^n y = f ^{(n)} dx^n$

Далее рассмотрим функцию $z = f(x, y)$ определенную теперь в некоторой области. Дадим независимой переменной $x$ приращение $\Delta x$ , тогда $z$ получит частное приращение $\Delta_x z$ .

$\Delta_x z = f(x + \Delta x, y) - f(x, y)$

Аналогично и для независимой переменной $y$ можно определить частное приращение,

$\Delta_y z = f(x, y + \Delta y) - f(x, y)$

Наконец, сообщив аргументу $x$ приращение $\Delta x$ , а аргументу $y$ соответственно $\Delta y$ , получим для $z$ новое приращение $\Delta z$ , которое называют полным приращением функции,

$\Delta z = f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)$

Можно заметить, что вообще говоря, полное приращение функции не равно сумме частных приращений,

$\Delta z \neq \Delta_x z + \Delta_y z$

Если предел при стремлении $\Delta x \to 0$ существует, то его называют частной производной по x от функции z,

$\lim_{\Delta x\to0} \frac{\Delta_x z}{\Delta x} = \frac{\partial z}{\partial x}$

Аналогично частной производной по y от функции z, называют предел,

$\lim_{\Delta y\to0} \frac{\Delta_y z}{\Delta y} = \frac{\partial z}{\partial y}$

Заметив, что $\Delta_x z$ вычисляется при неизменном $y$ , а $\Delta_y z$ при неизменном $x$ , сформулируем определение частных производных так — частной производной по $x$ от функции $z=f(x,y)$ называется производная по $x$ , вычисленная в предположении, что $y$ есть постоянная величина.

Из этого определения ясно, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами указанными для функции одного переменного, требуется только каждый раз помнить, по какой переменной ищется производная.

Полным дифференциалом функции называется часть общего приращения $\Delta z$ , определяемой из частных производных,

$dz = f'_x(x,y) \Delta x + f'_y(x,y) \Delta y$

Полное приращение функции состоит из полного дифференциала функции и некоторой части приращения, которая стремится к нулю при малом приращении по $x$ и $y$ ,

$\Delta z = dz + \gamma_1 \Delta x + \gamma_2 \Delta y$

Дифференциалами независимых переменных называют приращения переменных $\Delta x$ и $\Delta y$ . Тогда выражение для полного дифференциала примет вид,

$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$

Можно получить обобщение на функции любого числа аргументов. Для функции $w = f(x, y, z, u, ..., t)$ полный дифференциал запишется как,

$dw = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz + ... + \frac{\partial f}{\partial t} dt$

Частные производные вообще говоря, являются функциями переменных $x$ и $y$ , поэтому от них можно снова находить частные производные. Следовательно, от функции двух переменных можно найти четыре частных производных второго порядка.

Функция последовательно дифференцируется два раза по $x$ ,

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = f''_{xx}(x, y)$