Расчет скважины с трещиной бесконечной проводимости

Продолжим исследовать приток флюида к плоскости трещины. Следующая статья Alain Gringarten «Unsteady-State pressure distribution created by a well with a single infinty-conductivity vertical fracture» (Aug 1974).

Функция мгновенного точечного источника, расположенного в точке $x_w$ и $y_w$

$\begin{equation*} S(x,t) = \frac{1}{2 \sqrt{\eta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi t }} \cdot \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta t} \right ] \end{equation*}$

$\begin{equation*} S(y,t) = \frac{1}{2 \sqrt{\eta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi t }} \cdot \exp \left [ -\frac{(y-y_w)^2}{4 \eta t} \right ] \end{equation*}$

Изначально под $x_f$ автор обозначал полную длину прямоугольной пластины, далее под $x_f$ будет пониматься полудлина трещины. Представим трещину как объединение точечных источников вдоль оси $x$ ,

$\Delta p(x,y,t) = \frac{1}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t q_f(t) \int\limits_{-x_f}^{+x_f} S(x,t) \, dx_w \cdot S(y,t) dt$

Получим,

$\Delta p(x,y,t) = \frac{1}{4 \eta \pi \phi c_t } \, \int\limits_0^t q_f(\tau) \left ( \int\limits_{-x_f}^{+x_f} \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2 + (y-y_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] dx_w \right ) \frac{d\tau}{t - \tau}$

Трещина расположена симметрично относительно начала координат $y_w=0$ . Разложим интеграл на положительное и отрицательное направление трещины и учтём, что давление определяется вдоль плоскости трещины, где $y=0$ .

$\Delta p(x,t) = \frac{1}{4 \eta \pi \phi c_t } \, \int\limits_0^t q_f(\tau) \bigg ( \int\limits_{0}^{+x_f} \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] dx_w +\int\limits_{-x_f}^{0} \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] dx_w \bigg ) \frac{d\tau}{t - \tau}$

С помощью переменной $u=-x_w$ , можно показать, что последний интеграл преобразуется к виду,

$\int\limits_{-x_f}^{0} \exp \bigg [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \bigg ] dx_w = \int\limits_{0}^{x_f} \exp \bigg [ -\frac{(x+x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \bigg ] dx_w$

Что позволит объединить два крыла трещины под один интеграл,

$\Delta p(x,t) = \frac{1}{4 \eta \pi \phi c_t} \, \int\limits_0^t q_f(\tau) \int\limits_{0}^{+x_f} \left ( \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] + \exp \left [ -\frac{(x+x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] \right ) dx_w \, \frac{d\tau}{t - \tau}$

Поделим одно крыло трещины на $M$ сегментов. Длина одного сегмента составит $L=x_f/M$ , каждый работает с равномерно распределенным дебитом $q_{f,m}$ где $(m=1,M)$ . Первый сегмент распространяется от $0$ до $L$ , второй сегмент от $L$ до $2L$ , последний сегмент от $(M-1)L$ до $x_f$ .

$\Delta p(x,t) = \frac{1}{4 \eta \pi \phi c_t} \, \int\limits_0^t \sum_{m=1}^{M} q_{f,m}(\tau) \int\limits_{(m-1)L}^{mL} \bigg ( \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] + \exp \left [ -\frac{(x+x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] \bigg) dx_w \, \frac{d\tau}{t - \tau}$

Безразмерный дебит сегмента, это вклад дебита сегмента в общий дебит скважины $q_w$ ,

$q_{fd} = \frac{q_{f,m}}{q_f} = q_{f,m} \frac{2 x_f h }{q_w B}$

$\Delta p = \frac{q_w \mu B}{8 \pi x_f kh} \, \int\limits_0^t \sum_{m=1}^{M} q_{fd} (m,\tau) \int\limits_{(m-1)L}^{mL} \bigg ( \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] + \exp \left [ -\frac{(x+x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] \bigg) dx_w \, \frac{d\tau}{t - \tau}$

Слева группируем безразмерный комплекс,

$p_d = 2\pi \frac{kh}{\mu} \frac{\Delta p }{q_wB}$

$p_d = \frac{1}{4 x_f} \, \int\limits_0^t \sum_{m=1}^{M} \frac{q_{fd}}{t-\tau} \int\limits_{(m-1)L}^{mL} \bigg ( \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] + \exp \left [ -\frac{(x+x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] \bigg) dx_w \, d\tau$

Время и расстояния обезразмерим,

$t_d = t \cdot \frac {\eta}{x_f^2}$

$x_d = \frac{x}{x_f}$

$p_d = \frac{1}{4} \, \int\limits_0^{t_d} \sum_{m=1}^{M} \frac{q_{fd}}{t_d-\tau_d} \int\limits_{(m-1)L}^{mL} \bigg ( \exp \left [ -\frac{(x_d-x_{wd})^2}{4(t_d - \tau_d)} \right ] + \exp \left [ -\frac{(x_d+x_{wd})^2}{4 (t_d - \tau_d)} \right ] \bigg) dx_{wd} \, d\tau_d$

Внутренний интеграл можно выразить через $\operatename{erf}$ ,

$\int \exp \bigg( -\frac{\xi^2}{a^2} \bigg ) d\xi = \frac{a \sqrt{\pi} }{2} \operatorname{erf} \frac{\xi}{a}$

$\int\limits_{(m-1)L}^{mL} \bigg ( \exp \left [ -\frac{(x_d-x_{wd})^2}{4(t_d - \tau_d)} \right ] + \exp \left [ -\frac{(x_d+x_{wd})^2}{4 (t_d - \tau_d)} \right ] \bigg) dx_{wd} =$

$\sqrt{\pi(t_d - \tau_d)} \left( \operatorname{erf} \frac{m L_d - x_d}{2\sqrt{t_d - \tau_d}} - \operatorname{erf} \frac{(m-1)L_d - x_d}{2\sqrt{t_d - \tau_d}} + \operatorname{erf} \frac{m L_d + x_d}{2\sqrt{t_d - \tau_d}} - \operatorname{erf} \frac{(m-1)L_d + x_d}{2\sqrt{t_d - \tau_d}} \right)$

здесь безразмерная длина сегмента $L_d = 1/M$

Для произвольного сегмента $j$ , центр сегмента имеет координату $x_d=(j-1/2)L_d$ .

$= \sqrt{\pi(t_d - \tau_d)} \left( \operatorname{erf} \frac{m-(j-1/2)}{2M\sqrt{t_d - \tau_d}} - \operatorname{erf} \frac{(m-1)-(j-1/2)}{2M\sqrt{t_d - \tau_d}} + \operatorname{erf} \frac{m+(j-1/2)}{2M\sqrt{t_d - \tau_d}} - \operatorname{erf} \frac{(m-1)+ (j-1/2)}{2M\sqrt{t_d - \tau_d}} \right) =$

$= \sqrt{\pi(t_d - \tau_d)} \left( -\operatorname{erf} \frac{j-m-1/2}{2M\sqrt{t_d - \tau_d}} + \operatorname{erf} \frac{j-m+1/2}{2M\sqrt{t_d - \tau_d}} + \operatorname{erf} \frac{j+m-1/2}{2M\sqrt{t_d - \tau_d}} - \operatorname{erf} \frac{j+m-3/2}{2M\sqrt{t_d - \tau_d}} \right) =$

Сделаем замены индексам,

$\alpha = \frac{j-m+1/2}{2M}$

$\beta = \frac{j-m-1/2}{2M}$

$\gamma = \frac{j+m-1/2}{2M}$

$\delta = \frac{j+m-3/2}{2M}$

Получим,

$p_d(j,t_d) = \frac{\sqrt{\pi}}{4} \, \int\limits_0^{t_d} \sum_{m=1}^{M} \frac{q_{fd}}{\sqrt{t_d-\tau_d}} \left( \operatorname{erf} \frac{\alpha}{\sqrt{t_d - \tau_d}} -\operatorname{erf} \frac{\beta}{\sqrt{t_d - \tau_d}} + \operatorname{erf} \frac{\gamma}{\sqrt{t_d - \tau_d}} - \operatorname{erf} \frac{\delta}{\sqrt{t_d - \tau_d}} \right) \, d\tau_d$

Чтобы найти распределение давления в последний момент времени $t_k$ , поделим время на $1,K$ интервалов.

$p_d(j,t_K) = \frac{\sqrt{\pi}}{4} \sum_{m=1}^{M} \sum_{k=1}^{K} q_{fd} \int_{t_{k-1}}^{t_k} \frac{1}{\sqrt{t_K-\tau_d}} \left( \operatorname{erf} \frac{\alpha}{\sqrt{t_K - \tau_d}} -\operatorname{erf} \frac{\beta}{\sqrt{t_K - \tau_d}} + \operatorname{erf} \frac{\gamma}{\sqrt{t_K - \tau_d}} - \operatorname{erf} \frac{\delta}{\sqrt{t_K - \tau_d}} \right) \, d\tau_d$

здесь возникает следующий интеграл,

$\int \frac{1}{\sqrt{t-u}} \operatorname{erf} \frac{X}{\sqrt{t-u}} du = -2\sqrt{t-u}\operatorname{erf}\bigg(\frac{X}{\sqrt{u}} \bigg) + \frac{2X}{\sqrt{\pi}} \operatorname{Ei}\bigg(-\frac{X^2}{t-u}\bigg)$

Объединим под одной чертой и поменяем пределы интегрирования,

$p_d(j,t_K) = \frac{\sqrt{\pi}}{4} \sum_{m=1}^{M} \sum_{k=1}^{K} q_{fd} \cdot \Bigg ($

$\bigg(2\sqrt{t-u}\operatorname{erf}\bigg(\frac{\alpha}{\sqrt{u}} \bigg) - 2\sqrt{t-u}\operatorname{erf}\bigg(\frac{\beta}{\sqrt{u}} \bigg) + 2\sqrt{t-u}\operatorname{erf}\bigg(\frac{\gamma}{\sqrt{u}} \bigg) - 2\sqrt{t-u}\operatorname{erf}\bigg(\frac{\delta}{\sqrt{u}} \bigg) \Bigg |_{t_{k}}^{t_{k-1}} +$

$+ \bigg(- \frac{2\alpha}{\sqrt{\pi}} \operatorname{Ei}\bigg(-\frac{\alpha^2}{t-u}\bigg) + \frac{2\beta}{\sqrt{\pi}} \operatorname{Ei}\bigg(-\frac{\beta^2}{t-u}\bigg) - \frac{2\gamma}{\sqrt{\pi}} \operatorname{Ei}\bigg(-\frac{\gamma^2}{t-u}\bigg) + \frac{2\delta}{\sqrt{\pi}} \operatorname{Ei}\bigg(-\frac{\delta^2}{t-u}\bigg) \bigg)\Bigg |_{t_{k}}^{t_{k-1}} \bigg )$

Введем обозначение,

$\Delta t_{K,l} = t_{K} - t_{l}$

И введем два крупных комплекса величин,

$X_{i,j}^{K,l} = 2\sqrt{\Delta t_{K,l}} \left [ \operatorname{erf}\bigg(\frac{\alpha_{i,j}}{\sqrt{\Delta t_{K,l}}} \bigg) - \operatorname{erf}\bigg(\frac{\beta_{i,j}}{\sqrt{\Delta t_{K,l}}} \bigg) + \operatorname{erf}\bigg(\frac{\gamma_{i,j}}{\sqrt{\Delta t_{K,l}}} \bigg) - \operatorname{erf}\bigg(\frac{\delta_{i,j}}{\sqrt{\Delta t_{K,l}}} \bigg) \right ]$

$Y_{i,j}^{K,l} = - \frac{2}{\sqrt{\pi}} \bigg( \alpha_{i,j} \operatorname{Ei}\bigg(-\frac{\alpha_{i,j}^2}{\Delta t_{K,l}}\bigg) - \beta_{i,j} \operatorname{Ei}\bigg(-\frac{\beta_{i,j}^2}{\Delta t_{K,l}}\bigg) + \gamma_{i,j} \operatorname{Ei}\bigg(-\frac{\gamma_{i,j}^2}{\Delta t_{K,l}}\bigg) - \delta_{i,j} \operatorname{Ei}\bigg(-\frac{\delta_{i,j}^2}{\Delta t_{K,l}}\bigg) \bigg)$

Итоговая формула определения падения давления в центре $j$ сегмента трещины,

$p_d(j) = \frac{\sqrt{\pi}}{4} \sum_{m=1}^{M} \sum_{k=1}^{K} q_{fd} \cdot (X_{m,j}^{K,k-1} - X_{m,j}^{K,k} + Y_{m,j}^{K,k-1} - Y_{m,j}^{K,k} )$

Восстановление порядка вывода итоговой формулы стало возможным благодаря изданным позже следующим статьям,

SPE-8281-PA «Non-Darcy Flow in Wells With Finite-Conductivity Vertical Fractures» 1982
SPE-9344-PA «Effect of Non-Darcy Flow on the Constant-Pressure Production of Fractured Wells» 1981
SPE-104004-MS «Effect of Pressure in a Well With a Vertical Fracture With Variable Conductivity and Skin Fracture» 2006

Практическое моделирование

Расчет скважины с трещиной бесконечной проводимости

Добавить комментарий Отменить ответ

Комментарии

Архивы