Расчет скважины с трещиной бесконечной проводимости

Продолжим исследовать приток флюида к плоскости трещины.

Функция мгновенного точечного источника, расположенного в точке $(x_w$ , $y_w)$

$\begin{equation*} S(x,t) = \frac{1}{2 \sqrt{\eta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi t }} \cdot \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta t} \right ] \end{equation*}$

$\begin{equation*} S(y,t) = \frac{1}{2 \sqrt{\eta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi t }} \cdot \exp \left [ -\frac{(y-y_w)^2}{4 \eta t} \right ] \end{equation*}$

Представим трещину как объединение точечных источников вдоль оси $x$ , где под $x_f$ будем понимать теперь полудлину трещины,

$\Delta p(x,y,t) = \frac{1}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t q_f(\tau) \int\limits_{-x_f}^{+x_f} S(x,t-\tau) \, dx_w \cdot S(y,t-\tau) d\tau$

Получим,

$\Delta p(x,y,t) = \frac{1}{4 \eta \pi \phi c_t } \, \int\limits_0^t q_f(\tau) \left ( \int\limits_{-x_f}^{+x_f} \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2 + (y-y_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] dx_w \right ) \frac{d\tau}{t - \tau}$

Трещину разместим в начале координат ( $y_w=0$ ) и давление будет определяться только вдоль оси $x$ , там где $y=0$ , поэтому

$\Delta p(x,t) = \frac{1}{4 \eta \pi \phi c_t } \, \int\limits_0^t q_f(\tau) \left( \int\limits_{-x_f}^{+x_f} \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] dx_w \right ) \frac{d\tau}{t - \tau}$

Разделим время на $N$ произвольных интервалов, в течение которых дебит равен некоторому среднему дебиту. Тогда к моменту $t$ , изменение давления согласно принципу суперпозиции, будет складываться из суммы,

$\Delta p(x,t) = \frac{1}{4 \eta \pi \phi c_t } \, \sum_{l=1}^{N} q_{f}^{l} \, \int\limits_{t_{l-1}}^{t_l} \left ( \int\limits_{-x_f}^{+x_f} \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] dx_w \right ) \frac{d\tau}{t - \tau}$

Здесь предполагается, что приток жидкости равномерен по всей плоскости (uniform flux), поэтому дебит скважины $q_f$ выносится за знак интеграла,

Внутренний интеграл можно разложить на положительное и отрицательное направление трещины,

$\int\limits_{-x_f}^{+x_f} \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] dx_w = \int\limits_{0}^{+x_f} \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] dx_w + \int\limits_{-x_f}^{0} \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] dx_w =$

$=\int\limits_{0}^{x_f} \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] + \exp \left [ -\frac{(x+x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] dx_w$

Распишем сумму к моменту времени $t_N$ ,

$\Delta p(x,t_N) = \frac{1}{4 \eta \pi \phi c_t } \Bigg [q_{f}^{1} \int\limits_{0}^{t_1} \bigg( \int\limits_{0}^{+x_f} \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta (t_N - \tau)} \right ] + \exp \left [ -\frac{(x+x_w)^2}{4 \eta (t_N - \tau)} \right ] dx_w \bigg) \frac{d\tau}{t_N - \tau} +$

$+ q_{f}^{2} \int\limits_{t_1}^{t_2} \bigg ( \int\limits_{0}^{+x_f} \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta (t_N - \tau)} \right ] + \exp \left [ -\frac{(x+x_w)^2}{4 \eta (t_N - \tau)} \right ] dx_w \bigg ) \frac{d\tau}{t_N - \tau} + ...$

$+ q_{f}^{N} \int\limits_{t_{N-1}}^{t_N} \bigg ( \int\limits_{0}^{+x_f} \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta (t_N - \tau)} \right ] + \exp \left [ -\frac{(x+x_w)^2}{4 \eta (t_N - \tau)} \right ]dx_w \bigg ) \frac{d\tau}{t_N - \tau} \Bigg ]$

Обозначим коэффициентом $G$ множитель после дебита,

$\Delta p(x,t_N) = q_{f}^{1} G^{N,1} + q_{f}^{2} G^{N,2} + \cdots + q_{f}^{N} G^{N,N}$

$G^{N,l} = \frac{1}{4 \eta \pi \phi c_t } \int\limits_{t_{l-1}}^{t_l} \bigg( \int\limits_{0}^{+x_f} \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta (t_N - \tau)} \right ] + \exp \left [ -\frac{(x+x_w)^2}{4 \eta (t_N - \tau)} \right ]dx_w \bigg) \frac{d\tau}{t_N - \tau}$

Для всех временных шагов можно составить матрицу,

$\begin{equation*} \begin{bmatrix} \mathbf{\Delta p}^1 \\ \mathbf{\Delta p}^2 \\ \mathbf{\Delta p}^3 \\ \vdots \\ \mathbf{\Delta p}^N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{G}^{1,1} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \mathbf{G}^{2,1} & \mathbf{G}^{2,2} & 0 & \dots & 0 \\ \mathbf{G}^{3,1} & \mathbf{G}^{3,2} & \mathbf{G}^{3,3} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{G}^{N,1} & \mathbf{G}^{N,2} & \mathbf{G}^{N,3} & \dots & \mathbf{G}^{N,N} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{q_f}^1 \\ \mathbf{q_f}^2 \\ \mathbf{q_f}^3 \\ \vdots \\ \mathbf{q_f}^N \end{bmatrix} \end{equation*}$

Матрица удовлетворяет принципу причинности, где будущие шаги не влияют на прошлые. Это позволяет выделить текущий временной шаг и определить его через известные дебиты

$\mathbf{\Delta p}^k = \sum_{l=1}^{k-1} \mathbf{G}^{k,l} \cdot \mathbf{q_f}^l + \mathbf{G}^{k,k} \cdot \mathbf{q_f}^k$

И так шаг за шагом получить решение системы.

***

Поделим одно крыло трещины на $M$ сегментов.

Длина одного сегмента составит $L=x_f/M$ . Каждый сегмент работает со своим равномерно распределенным дебитом $q_{f,m}$ где $(m=1,M)$ . Первый сегмент располагается от $0$ до $L$ , второй сегмент от $L$ до $2L$ , последний сегмент от $(M-1)L$ до $x_f$ .

$\Delta p(x,t) = \frac{1}{4 \eta \pi \phi c_t } \, \sum_{l=1}^{N} \sum_{m=1}^{M} (q_f)_m^l \int\limits_{t_{l-1}}^{t_l} \int\limits_{(m-1)L}^{mL} \left ( \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] + \exp \left [ -\frac{(x+x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] dx_w \right ) \frac{d\tau}{t - \tau}$

Здесь дебит всей скважины на временном шаге $l$ дискретно распределяется между отдельными сегментами трещины. Для замыкания системы уравнений необходимо ввести условие постоянства суммарного дебита,

$(q_f)_m^l = (q_w)_m^l \cdot \frac{M}{x_f h}$

$q_w^l = 2 \sum_{m=1}^{M} (q_w)_m^l$

$q_w^l = \sum_{m=1}^{M} (q_f)_m^l \frac{2x_f h}{M}$

Из последнего выражения записывается уравнение связывающее удельные дебиты сегментов с дебитом скважины,

$M = 2 x_f h \sum_{m=1}^{M} \frac{(q_f)_m^l}{q_w^l}$

Дебит скважины связан с удельным дебитом,

$q_f^l = q_w^l \cdot \frac{1}{2 x_f h}$

Удобней перейти к отношению дебита сегмента к дебиту трещины,

$\Delta p(x,t) = \frac{q_f^l}{4 \eta \pi \phi c_t } \, \sum_{l=1}^{N} \sum_{m=1}^{M} \frac{(q_f)_m^l}{q_f^l} \int\limits_{t_{l-1}}^{t_l} \int\limits_{(m-1)L}^{mL} \left ( \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] + \exp \left [ -\frac{(x+x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] dx_w \right ) \frac{d\tau}{t - \tau}$

Введем следующие безразмерные параметры,

$(q_D)_m^l = \frac{(q_f)_m^l}{q_f^l}$

$p_D = 2 \pi \cdot \frac{kh}{\mu} \cdot \frac{\Delta p }{q_w}$

Что позволит записать,

$(p_D)^l = \frac{1}{4 x_f} \, \sum_{l=1}^{N} \sum_{m=1}^{M} (q_D)_m^l \int\limits_{t_{l-1}}^{t_l} \int\limits_{(m-1)L}^{mL} \left ( \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] + \exp \left [ -\frac{(x+x_w)^2}{4 \eta (t - \tau)} \right ] dx_w \right ) \frac{d\tau}{t - \tau}$

Напоследок введем ещё одно обозначение: $\Delta t = t - \tau$ .

***

Пришло время разобрать внутренний интеграл по расстоянию,

$\int\limits_{(m-1)L}^{mL} \bigg ( \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta \Delta t} \right ] + \exp \left [ -\frac{(x+x_w)^2}{4 \eta \Delta t} \right ] \bigg) dx_w$

Здесь нам поможет следующее решение,

$\int \exp \bigg( -\frac{\xi^2}{a^2} \bigg ) d\xi = \frac{a \sqrt{\pi} }{2} \operatorname{erf} \frac{\xi}{a}$

$\int\limits_{(m-1)L}^{mL} \bigg ( \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4\eta\Delta t} \right ] + \exp \left [ -\frac{(x+x_w)^2}{4\eta \Delta t} \right ] \bigg) dx_w =$

$\sqrt{\pi\eta\Delta t} \left( \operatorname{erf} \frac{m L - x}{2\sqrt{\eta\Delta t}} - \operatorname{erf} \frac{(m-1)L - x}{2\sqrt{\eta\Delta t}} + \operatorname{erf} \frac{m L + x}{2\sqrt{\eta\Delta t}} - \operatorname{erf} \frac{(m-1)L + x}{2\sqrt{\eta\Delta t}} \right)$

Для произвольного сегмента $j$ , центр сегмента имеет координату $x = jL-L/2$ ,

$=\sqrt{\pi\eta\Delta t} \left( \operatorname{erf} \frac{x_f (m-j+0.5)}{2M\sqrt{\eta\Delta t}} - \operatorname{erf} \frac{x_f(m-j-0.5)}{2M\sqrt{\eta\Delta t}} + \operatorname{erf} \frac{x_f(m+j-0.5)}{2M\sqrt{\eta\Delta t}} - \operatorname{erf} \frac{x_f(m+j-1.5)}{2M\sqrt{\eta\Delta t}} \right)$

Можно немного подукрасить и вынести $j$ первее $m$ ,

$=\sqrt{\pi\eta\Delta t} \left( -\operatorname{erf} \frac{x_f (j-m-0.5)}{2M\sqrt{\eta\Delta t}} + \operatorname{erf} \frac{x_f(j-m+0.5)}{2M\sqrt{\eta\Delta t}} + \operatorname{erf} \frac{x_f(j+m-0.5)}{2M\sqrt{\eta\Delta t}} - \operatorname{erf} \frac{x_f(j+m-1.5)}{2M\sqrt{\eta\Delta t}} \right)$

Сделаем следующие замены,

$\alpha = \frac{j-m+1/2}{2M}$

$\beta = \frac{j-m-1/2}{2M}$

$\gamma = \frac{j+m-1/2}{2M}$

$\delta = \frac{j+m-3/2}{2M}$

$=\sqrt{\pi\eta\Delta t} \left( \operatorname{erf} \frac{x_f\alpha}{\sqrt{\eta\Delta t}} -\operatorname{erf} \frac{x_f \beta}{\sqrt{\eta\Delta t}} + \operatorname{erf} \frac{x_f\gamma}{\sqrt{\eta\Delta t}} - \operatorname{erf} \frac{x_f\delta}{\sqrt{\eta\Delta t}} \right)$

Здесь напрашивается безразмерное давление,

$\Delta t_D = \Delta t \cdot \frac {\eta}{x_f^2}$

$=x_f \sqrt{\pi \Delta t_D} \left( \operatorname{erf} \frac{\alpha}{\sqrt{\Delta t_D}} -\operatorname{erf} \frac{\beta}{\sqrt{\Delta t_D}} + \operatorname{erf} \frac{\gamma}{\sqrt{\Delta t_D}} - \operatorname{erf} \frac{\delta}{\sqrt{\Delta t_D}} \right)$

Получим промежуточный результат,

$(p_D)^l = \frac{\sqrt{\pi}}{4} \, \sum_{l=1}^{N} \sum_{m=1}^{M} (q_D)_m^l \int\limits_{t_{l-1}}^{t_l} \frac{1}{\sqrt{\Delta t_D}}\left( \operatorname{erf} \frac{\alpha}{\sqrt{\Delta t_D}} -\operatorname{erf} \frac{\beta}{\sqrt{\Delta t_D}} + \operatorname{erf} \frac{\gamma}{\sqrt{\Delta t_D}} - \operatorname{erf} \frac{\delta}{\sqrt{\Delta t_D}} \right) d\tau_D$

***

Разберем внутренний интеграл по времени, при помощи такого вот решения,

$\int \frac{1}{\sqrt{t-u}} \operatorname{erf} \frac{a}{\sqrt{t-u}} du = -2\sqrt{t-u}\operatorname{erf}\bigg(\frac{a}{\sqrt{t-u}} \bigg) + \frac{2a}{\sqrt{\pi}} \operatorname{Ei}\bigg(-\frac{a^2}{t-u}\bigg)$

Получим,

$p_d(j,t_d) = \frac{\sqrt{\pi}}{4} \, \int\limits_0^{t_d} \sum_{m=1}^{M} \frac{q_{fd}}{\sqrt{t_d-\tau_d}} \left( \operatorname{erf} \frac{\alpha}{\sqrt{t_d - \tau_d}} -\operatorname{erf} \frac{\beta}{\sqrt{t_d - \tau_d}} + \operatorname{erf} \frac{\gamma}{\sqrt{t_d - \tau_d}} - \operatorname{erf} \frac{\delta}{\sqrt{t_d - \tau_d}} \right) \, d\tau_d$

Чтобы найти распределение давления в последний момент времени $t_k$ , поделим время на $1,K$ интервалов.

$p_d(j,t_K) = \frac{\sqrt{\pi}}{4} \sum_{m=1}^{M} \sum_{k=1}^{K} q_{fd} \int_{t_{k-1}}^{t_k} \frac{1}{\sqrt{t_K-\tau_d}} \left( \operatorname{erf} \frac{\alpha}{\sqrt{t_K - \tau_d}} -\operatorname{erf} \frac{\beta}{\sqrt{t_K - \tau_d}} + \operatorname{erf} \frac{\gamma}{\sqrt{t_K - \tau_d}} - \operatorname{erf} \frac{\delta}{\sqrt{t_K - \tau_d}} \right) \, d\tau_d$

здесь возникает следующий интеграл,

$\int \frac{1}{\sqrt{t-u}} \operatorname{erf} \frac{X}{\sqrt{t-u}} du = -2\sqrt{t-u}\operatorname{erf}\bigg(\frac{X}{\sqrt{u}} \bigg) + \frac{2X}{\sqrt{\pi}} \operatorname{Ei}\bigg(-\frac{X^2}{t-u}\bigg)$

Объединим под одной чертой и поменяем пределы интегрирования,

$p_d(j,t_K) = \frac{\sqrt{\pi}}{4} \sum_{m=1}^{M} \sum_{k=1}^{K} q_{fd} \cdot \Bigg ($

$\bigg(2\sqrt{t-u}\operatorname{erf}\bigg(\frac{\alpha}{\sqrt{u}} \bigg) - 2\sqrt{t-u}\operatorname{erf}\bigg(\frac{\beta}{\sqrt{u}} \bigg) + 2\sqrt{t-u}\operatorname{erf}\bigg(\frac{\gamma}{\sqrt{u}} \bigg) - 2\sqrt{t-u}\operatorname{erf}\bigg(\frac{\delta}{\sqrt{u}} \bigg) \Bigg |_{t_{k}}^{t_{k-1}} +$

$+ \bigg(- \frac{2\alpha}{\sqrt{\pi}} \operatorname{Ei}\bigg(-\frac{\alpha^2}{t-u}\bigg) + \frac{2\beta}{\sqrt{\pi}} \operatorname{Ei}\bigg(-\frac{\beta^2}{t-u}\bigg) - \frac{2\gamma}{\sqrt{\pi}} \operatorname{Ei}\bigg(-\frac{\gamma^2}{t-u}\bigg) + \frac{2\delta}{\sqrt{\pi}} \operatorname{Ei}\bigg(-\frac{\delta^2}{t-u}\bigg) \bigg)\Bigg |_{t_{k}}^{t_{k-1}} \bigg )$

Введем обозначение,

$\Delta t_{K,l} = t_{K} - t_{l}$

И введем два крупных комплекса величин,

$X_{i,j}^{K,l} = 2\sqrt{\Delta t_{K,l}} \left [ \operatorname{erf}\bigg(\frac{\alpha_{i,j}}{\sqrt{\Delta t_{K,l}}} \bigg) - \operatorname{erf}\bigg(\frac{\beta_{i,j}}{\sqrt{\Delta t_{K,l}}} \bigg) + \operatorname{erf}\bigg(\frac{\gamma_{i,j}}{\sqrt{\Delta t_{K,l}}} \bigg) - \operatorname{erf}\bigg(\frac{\delta_{i,j}}{\sqrt{\Delta t_{K,l}}} \bigg) \right ]$

$Y_{i,j}^{K,l} = - \frac{2}{\sqrt{\pi}} \bigg( \alpha_{i,j} \operatorname{Ei}\bigg(-\frac{\alpha_{i,j}^2}{\Delta t_{K,l}}\bigg) - \beta_{i,j} \operatorname{Ei}\bigg(-\frac{\beta_{i,j}^2}{\Delta t_{K,l}}\bigg) + \gamma_{i,j} \operatorname{Ei}\bigg(-\frac{\gamma_{i,j}^2}{\Delta t_{K,l}}\bigg) - \delta_{i,j} \operatorname{Ei}\bigg(-\frac{\delta_{i,j}^2}{\Delta t_{K,l}}\bigg) \bigg)$

Итоговая формула определения падения давления в центре $j$ сегмента трещины,

$p_d(j) = \frac{\sqrt{\pi}}{4} \sum_{m=1}^{M} \sum_{k=1}^{K} q_{fd} \cdot (X_{m,j}^{K,k-1} - X_{m,j}^{K,k} + Y_{m,j}^{K,k-1} - Y_{m,j}^{K,k} )$

Восстановление порядка вывода итоговой формулы стало возможным благодаря изданным позже следующим статьям,

SPE-4051 «Unsteady-State pressure distribution created by a well with a single infinty-conductivity vertical fracture» (Aug 1974).
SPE-8281-PA «Non-Darcy Flow in Wells With Finite-Conductivity Vertical Fractures» 1982
SPE-9344-PA «Effect of Non-Darcy Flow on the Constant-Pressure Production of Fractured Wells» 1981
SPE-104004-MS «Effect of Pressure in a Well With a Vertical Fracture With Variable Conductivity and Skin Fracture» 2006

Практическое моделирование

Расчет скважины с трещиной бесконечной проводимости

Добавить комментарий Отменить ответ

Комментарии

Архивы