Расчет скважины с ГРП

Приток флюида к единичной трещине складывается из пересечения пластины шириной $x_f$ в одной проекции и тонкой плоскостью в другой,

Выбирая из типов источников, приведенных в прошлой статье, получим

II(x) $\begin{equation*} S(x,t) = \frac{1}{2} \left [ \mathtt{erf} \, \frac{x - (x_w - x_f/2)}{2 \sqrt{\eta t}} - \mathtt{erf} \, \frac{x - (x_w + x_f/2)}{2 \sqrt{\eta t}} \right ] \end{equation*}$

I(x) $\begin{equation*} S(y,t) = \frac{1}{2 \sqrt{\eta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi t }} \cdot \exp \left [ -\frac{(y-y_w)^2}{4 \eta t} \right ] \end{equation*}$

что дает нам выражение для определения падения давления в любой точке,

$\Delta p(x,y,t) = \frac{1}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t q(\tau) \cdot S(x,y,\tau) d\tau$

$\Delta p(x,y,t) = \frac{q_f}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t \frac{1}{4 \sqrt{\eta \pi \tau}} \left [ \mathtt{erf} \, \frac{x - (x_w - x_f/2)}{2 \sqrt{\eta \tau}} - \mathtt{erf} \, \frac{x - (x_w + x_f/2)}{2 \sqrt{\eta \tau}} \right ] \cdot \exp \left [ -\frac{(y-y_w)^2}{4 \eta \tau} \right ] d\tau$

Начнем с рассмотрения одиночной вертикальной трещины, вскрывающий пласт на полную высоту. Поместим такую трещину в начало координат, $x_w=0,y_w=0$ ,

$\Delta p(x,y,t) = \frac{q_f}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t \frac{1}{4 \sqrt{\eta \pi \tau}} \left [ \mathtt{erf} \, \frac{x + x_f/2}{2 \sqrt{\eta \tau}} - \mathtt{erf} \, \frac{x -x_f/2}{2 \sqrt{\eta \tau}} \right ] \cdot \exp \left [ -\frac{y^2}{4 \eta \tau} \right ] d\tau$

Безразмерное время нормируем на длину трещины,

$t_D = \frac{4 \eta \cdot \tau}{x_f^2}$

А расстояние отнесем к полудлине трещины,

$y_D = \frac{2 y}{x_f}, x_D = \frac{2 x}{x_f}$

Тогда,

$\Delta p(x,y,t) = \frac{q_f}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t \frac{1}{4 \sqrt{\eta \pi \tau}} \left [ \mathtt{erf} \, \frac{1+x_D}{2 \sqrt{t_D}} + \mathtt{erf} \, \frac{1-x_D}{2 \sqrt{t_D}} \right ] \cdot \exp \left [ -\frac{y_D^2}{4 t_D} \right ] d\tau$

Безразмерное давление,

$p_D = 2\pi \frac{kh}{\mu} \frac{1}{q_w} \Delta p$

$\Delta p_D = \int\limits_0^{t_D} \frac{\sqrt{\pi}}{4 \sqrt{t_D}} \left [ \mathtt{erf} \, \frac{1+x_D}{2 \sqrt{t_D}} + \mathtt{erf} \, \frac{1-x_D}{2 \sqrt{t_D}} \right ] \cdot \exp \left [ -\frac{y_D^2}{4 t_D} \right ] dt_D$

В плоскости трещины $y_D=0$ ,

$\Delta p_D(x_D,0,t_D) = \int\limits_0^{t_D} \frac{\sqrt{\pi}}{4 \sqrt{t_D}} \left [ \mathtt{erf} \, \frac{1+x_D}{2 \sqrt{t_D}} + \mathtt{erf} \, \frac{1-x_D}{2 \sqrt{t_D}} \right ] dt_D$

Используем решение,

$\int_{0}^{t} \frac{1}{\sqrt{t}} \, \mathtt{erf} \left (\frac{a}{\sqrt{t}} \right ) dt_D = 2 \sqrt{t} \, \mathtt{erf} \left (\frac{a}{\sqrt{t}} \right ) - \frac{2a}{\sqrt{\pi}} \, \mathtt{Ei} \left (-\frac{a^2}{t} \right )$

получим,

$\Delta p_D(x_D,0,t_D) = \frac{\sqrt{\pi t_D}}{2} \cdot \left ( \mathtt{erf} \, \frac{1+x_D}{2 \sqrt{t_D}} + \mathtt{erf} \, \frac{1-x_D}{2 \sqrt{t_D}} \right) -$

$-\frac{1+x_D}{4} \mathtt{Ei} \left (-\frac{(1+x_D)^2}{4t_D} \right ) - \frac{1-x_D}{4} \mathtt{Ei} \left (-{\frac{(1-x_D)^2}{4t_D} \right )$

Забойное давление будем определять в центре трещины при $x_D=0,y_D=0$ ,

$\Delta p_D(0,0,t_D) = \sqrt{\pi t_D} \cdot \mathtt{erf} \, \frac{1}{2 \sqrt{t_D}} - \frac{1}{2} \mathtt{Ei} \left (-\frac{1}{4t_D} \right )$

Сравнение аналитической модели и расчета на ГДМ,

Чтобы погасить влияние проводимости трещины, задано Fcd = 314, которое считается почти бесконечностью.

Для малых значений $t_D$ , диагностируется линейный режим течения,

$\Delta p_D(0,0,t_D) = \sqrt{\pi t_D}$

При переходе от вертикальной скважины с ГРП к горизонтальной скважине с вертикальной трещиной, возникает дополнительное сопротивление течению, вызванное радиальным сужением к порту ГРП.

Величина дополнительного падения давления, как это приводится в статье «A parametric comparision of horizontal and vertical well perfomance», 1991, может быть определена исходя из формулы фильтрационных сопротивлений Борисова, когда сравнивается перепад давления в трещине исходя из наличия и отсутствия радиального сужения.

$\Delta p_s = \frac{q}{2\pi} \frac{\mu}{k_f h} \left [ \frac{kh}{k_fw} ln \left( \frac{h}{2 \pi r_w}\right ) - \frac{kh}{k_f w} \frac{\pi}{2}\right ]$

Если трещина обладает бесконечно большой проводимостью, как это следует из формулы, перепад давления стремится к нулю. Поэтому формулой выведенной для случая притока к вертикальной скважиной с трещиной можно пользоваться и при рассмотрении горизонтальной скважины с ГРП.

Практическое моделирование

Добавить комментарий Отменить ответ

Комментарии

Архивы