Расчет скважины с МГРП

Собственно, ничего не мешает рассмотреть случай $n$ трещин, расположенных параллельно друг другу, вскрывающих пласт на полную высоту и обладающие бесконечной проводимостью.

Мне удобней представлять скважину так, чтобы трещины располагались вдоль оси $y$ , для единичной трещины падение давления записывается как,

$\Delta p(x,y,t) = \frac{q_f}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t \frac{1}{4 \sqrt{\eta \pi \tau}} \left [ \mathtt{erf} \, \frac{y - (y_w - y_f/2)}{2 \sqrt{\eta \tau}} - \mathtt{erf} \, \frac{y - (y_w + y_f/2)}{2 \sqrt{\eta \tau}} \right ] \cdot \exp \left [ -\frac{(x-x_w)^2}{4 \eta \tau} \right ] d\tau$

Суперпозиция позволяет получить падение давления на забое первой трещины, как сумму падений давления трех трещин. Несколько необычно выглядит вынос номера трещины перед переменной, чтобы не загромождать и так громоздкие формулы,

$\Delta \textbf{1}p(x,y,t) =$

$\frac{\textbf{1}q_{f}}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t \frac{1}{4 \sqrt{\eta \pi \tau}} \left [ \mathtt{erf} \, \frac{\textbf{1}y_w - (\textbf{1}y_w - \textbf{1}y_f/2)}{2 \sqrt{\eta \tau}} - \mathtt{erf} \, \frac{\textbf{1}y_w - (\textbf{1}y_w + \textbf{1}y_f/2)}{2 \sqrt{\eta \tau}} \right ] \cdot \exp \left [ -\frac{(\textbf{1}x_w-\textbf{1}x_w)^2}{4 \eta \tau} \right ] d\tau +$

$\frac{\textbf{2}q_{f}}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t \frac{1}{4 \sqrt{\eta \pi \tau}} \left [ \mathtt{erf} \, \frac{\textbf{1}y_w - (\textbf{2}y_w - \textbf{2}y_f/2)}{2 \sqrt{\eta \tau}} - \mathtt{erf} \, \frac{\textbf{1}y_w - (\textbf{2}y_w + \textbf{2}y_f/2)}{2 \sqrt{\eta \tau}} \right ] \cdot \exp \left [ -\frac{(\textbf{1}x_w-\textbf{2}x_w)^2}{4 \eta \tau} \right ] d\tau +$

$\frac{\textbf{3}q_{f}}{\phi c_t} \, \int\limits_0^t \frac{1}{4 \sqrt{\eta \pi \tau}} \left [ \mathtt{erf} \, \frac{\textbf{1}y_w - (\textbf{3}y_w - \textbf{3}y_f/2)}{2 \sqrt{\eta \tau}} - \mathtt{erf} \, \frac{\textbf{1}y_w - (\textbf{3}y_w + \textbf{3}y_f/2)}{2 \sqrt{\eta \tau}} \right ] \cdot \exp \left [ -\frac{(\textbf{1}x_w-\textbf{3}x_w)^2}{4 \eta \tau} \right ] d\tau$

или заменяя переменными,

$\Delta \textbf{1}p(x,y,t) = \textbf{1}q \, a_{11} + \textbf{2}q \, a_{12} + \textbf{3}q \, a_{13}$

Записывая те же выражения для второй и третьей трещины,

$\Delta \textbf{2}p(x,y,t) = \textbf{1}q \, a_{21} + \textbf{2}q \, a_{22} + \textbf{3}q \, a_{23}$

$\Delta \textbf{3}p(x,y,t) = \textbf{1}q \, a_{31} + \textbf{2}q \, a_{32} + \textbf{3}q \, a_{33}$

здесь удельный дебит на площадь трещины, заменен дебитом трещины,

$q_f = \frac{qB}{x_f \cdot h}$

Коэффициенты $a$ вычисляются на каждый новый момент времени. Для определения дебита каждой трещины во времени поможет соотношение определяющее дебит скважины как сумму дебитов трещин.

$q = \textbf{1}q + \textbf{2}q + \textbf{3}q$

Будем считать, что течение флюида в горизонтальном стволе между трещинами не имеет сопротивления, следовательно забойное давление всех трещин будет равным друг другу,

$p_w = \textbf{1}p_w + \textbf{2}p_w + \textbf{3}p_w$

Получим систему уравнений,

$\begin{equation*} \begin{cases} q_1 \cdot a_{11} + q_2 \cdot a_{12} + q_3 \cdot a_{13} = \Delta p_1 \\ q_1 \cdot a_{21} + q_2 \cdot a_{22} + q_3 \cdot a_{23} = \Delta p_2 \\ q_1 \cdot a_{31} + q_2 \cdot a_{32} + q_3 \cdot a_{33} = \Delta p_3 \\ q = q_1 + q_2 + q_3 \end{cases} \end{equation*}$

которую подготовим к матричному представлению,

$\begin{equation*} \begin{cases} q_1 \cdot a_{11} + q_2 \cdot a_{12} + q_3 \cdot a_{13} - \Delta p = 0 \\ q_1 \cdot a_{21} + q_2 \cdot a_{22} + q_3 \cdot a_{23} - \Delta p = 0 \\ q_1 \cdot a_{31} + q_2 \cdot a_{32} + q_3 \cdot a_{33} - \Delta p = 0\\ q_1 \cdot 1 + q_2 \cdot 1 + q_3\cdot 1 - 0 = q \end{cases} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} &-1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &-1\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} &-1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right] \begin{bmatrix} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \\ \Delta p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ q \end{bmatrix} \] \end{equation*}$

Полученная система уравнений решается методом Гаусса (Gauss–Jordan elimination).

Пробный расчет для пласта низкой проницаемости,

m = 0.15;
ct = 1e-09;
mu = 0.328 * 0.001;
k = 1 * 0.986923 * 1e-15;
h = 8.5;
B = 1.019;

Задал три стадии ГРП и дебит скважины 100 m3/d.

xw = 100, yw = 100, xf = 70 m
xw = 100, yw = 150, xf = 50 m
xw = 100, yw = 300, xf = 20 m

Изменение перепада давления,

Однако распределение дебитов по трещинам показал следующую ситуацию,

как только трещины начинают испытывать влияние друг на друга, дебит самой продуктивной трещины начинает постоянно снижаться, вплоть до того, что через нее начинается обратный переток в пласт для выравнивания давления.

Здесь очевидно сильно нарушается условие постоянства дебита и, следовательно, на каждый следующий шаг следует определять $\Delta Q$ каждой трещины и далее как обычно применяя свойство суперпозиции складывать решения не только в пространстве, но и во времени.

А это потребует некоторых усилий, о которых я расскажу в следующий раз. Исходные тексты расчетов выложены в открытом доступе на https://github.com/romanio/wRate.

Практическое моделирование

Добавить комментарий Отменить ответ

Комментарии

Архивы