Ньютоновский потенциал

(из вводной части «Уравнения математической физики» С.К.Годунова)

Курс уравнений с частными производными существенно отличается от курса обыкновенных дифференциальных уравнений тем, что в этом курсе будут изучаться далеко не все уравнения, которые можно выписать используя значки частных производных. Мы ограничимся только совсем немногочисленными конкретными примерами уравнений и систем.

Не надо думать, что изучаемые примеры случайны с точки зрения математической теории. Изучение уравнений математической физики привело к тому, что появилась классификация постановок задач, согласно которой выбранные уравнения и системы являются типичными представителями наиболее важных классов.

Оказалось, что для уравнений, отличающихся друг от друга на первый взгляд совсем несущественно, естественным будут совсем разные задачи. В качестве примера, укажем на уравнения,

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$

которые так похожи по записи, но принципиально отличные по свойствам.

Первым уравнением, на котором мы остановимся, будет уравнение Лапласа,

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}= 0$

и чуть-чуть более общее, уравнение Пуассона,

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}= f(x,y,z)$

Я сейчас расскажу, как в математической физике появилось уравнение Лапласа. Его появление на свет вызвано совсем нетривиальным ходом развития естественных наук. Неожиданный поворот мыслей Лапласа предопределил, как мне кажется, ряд важных соображений, следствием которых явились уравнения Максвелла для электромагнитного поля и уравнения полей, связанных с элементарными частицами.

Как известно, Кеплер, обрабатывая наблюдения Тихо Браге над движением планет, установил следующие три удивительных закона:

Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Радиус-вектор от Солнца до планеты заметает равные площади в равные интервалы времени.
Квадраты времен обращения двух планет пропорциональны кубам больших полуосей их орбит.

Законы эти, хоть и красивые, но довольно сложные. В дальнейшем Ньютон нашел для этих законов более простое, хотя и не менее удивительное выражение, называемое законом всемирного тяготения:

«Между любыми двумя телами действует сила притяжения, прямо пропорциональная их массам и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними».

$F = \gamma \cdot \frac{M_1 M_2}{r^2}$

Удивительно, конечно, как два тела, находящиеся на колоссальном расстоянии друг от друга, могут действовать одно на другое. Попытка преодолеть удивление, по видимому, и привела Лапласа к следующему истолкованию.

Наличие какого-либо притягивающего тела влечет за собой возникновение во всем пространстве некоторой субстанции, интенсивность $u$ которой в точке $(x,y,z)$ вычисляется по формуле,

$u = \gamma \cdot \frac{M}{r}$

где $r$ это расстояние до притягивающего тела, имеющего координаты $(x_0,y_0,z_0)$ ,

$r = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}$

В случае, если притягивающих тел несколько, то силу можно вычислить по тем же формулам, если взять в качестве потенциала функцию,

$u = \gamma \sum_i \frac{M_i}{r_i}$

$r_i = \sqrt{(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + (z-z_i)^2}$

Лаплас предложил пользоваться при изучении тяготения не самой функцией $u$ , а тем дифференциальным уравнением, которому эта функция удовлетворяет. Это уравнение может быть получено следующим образом.

Вычислим сначала производную,

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot (x - x_i)}{\sqrt{(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + (z-z_i)^2}} = \frac{x-x_i}{r}$

Таким образом,

$\frac{\partial u_i}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\gamma \cdot \frac{M_i}{r_i}\right) = - \gamma \cdot M_i \cdot \frac{1}{r^2} \frac{\partial r}{\partial x} = - \gamma \cdot M_i \cdot \frac{x - x_i}{r^3}$

Продифференцируем ещё раз,

$\frac{\partial^2 u_i}{\partial x^2} = - \gamma \cdot M_i \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x - x_i}{r^3} \right ) =$

$= - \gamma \cdot M_i \left( \frac{r^3 - 3r^2 \cdot \frac{x-x_i}{r} \cdot (x - x_i) }{r^6} \right) = \gamma \cdot M_i \left(-\frac{1}{r^3} + 3\cdot \frac{(x-x_i)^2}{r^5} \right)$

Повторяя порядок вычислений,

$\frac{\partial^2 u_i}{\partial x^2} = \gamma \cdot M_i \left(-\frac{1}{r^3} + 3\cdot \frac{(x-x_i)^2}{r^5} \right)$

$\frac{\partial^2 u_i}{\partial y^2} = \gamma \cdot M_i \left(-\frac{1}{r^3} + 3\cdot \frac{(y-y_i)^2}{r^5} \right)$

$\frac{\partial^2 u_i}{\partial z^2} = \gamma \cdot M_i \left(-\frac{1}{r^3} + 3\cdot \frac{(z-z_i)^2}{r^5} \right)$

Складывая три частные производные получим,

$\frac{\partial^2 u_i}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u_i}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u_i}{\partial z^2} = \gamma \cdot M_i \cdot \left (-\frac{3}{r^3} + 3\cdot \frac{(x-x_i)^2}{r^5} + 3\cdot \frac{(y-y_i)^2}{r^5} + 3\cdot \frac{(z-z_i)^2}{r^5} \right) =$

$= \gamma \cdot M_i \cdot \left (-\frac{3}{r^3} + \frac{3}{r^5} \cdot [(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + (z-z_i)^2] \right) = \gamma \cdot M_i \cdot \left (-\frac{3}{r^3} + \frac{3}{r^3} \right) = 0$

Очевидно, из того, что $u = \sum u_i$ вытекает равенство,

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0$

которое и называется уравнением Лапласа.

Таким образом, Лаплас предложил отказаться от явной формы для сил дальнодействия и заменить её на дифференциальное уравнение для поля величины $u$ . Можно считать, что дифференциальное уравнение описывает взаимодействие между соседними элементами поля $u$ . Введение этого поля подменяет задачу о дальнодействии между реальными телами задачей о «близкодействующем» взаимодействии между соседними областями пространства, залитыми некоторым, искусственно придуманным полем величины $u$ .

Лапласу мы обязаны идеей введения уравнений для надуманного поля $u$ , которые действуют всюду вне тех точек, в которых сосредоточены сами массы. Заметим, что при $x = x_i$ , $y = y_i$ и $z = z_i$ мы не можем вычислить производные по приведенным формулам.

Используемая функция $u$ называется потенциалом векторного поля $\textbf{F}$ . Чтобы вычислить компоненты $F_x$ , $F_y$ , $F_z$ силы тяготения действующей на тело единичной массы, расположенное в точке с координатами $(x,y,z)$ надо положить,

$F_x = \frac{\partial u}{\partial x}, F_y = \frac{\partial u}{\partial y}, F_z = \frac{\partial u}{\partial z}$

В дальнейшем нам придется иметь дело не с потенциалом точечных масс, а с полем тяготения вызванным массой распределенной по некоторому объему. Остановимся на таком распределении массы с плотностью $\rho(a,b,c)$ . Пусть $\rho=0$ для всех точек лежащих вне некоторого шара, то есть при $a^2 + b^2 + c^2 > R^2$ . Разобьем шар на элементарные объемы со сторонами $\Delta a$ , $\Delta b$ , $\Delta c$ , в каждом из которых сосредоточена масса

$\rho(a,b,c) \Delta a \Delta b \Delta c$

Возбуждаемый этой массой потенциал силы тяготения принимает в точке $(x,y,z)$ значение,

$u_i = \gamma \cdot \frac{\rho(a,b,c) \Delta a \Delta b \Delta c}{\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2}}$

Суммарный потенциал учитывающий все элементарные объемы, будет равен

$u = \gamma \cdot \sum_{a,b,c} \frac{\rho(a,b,c) \Delta a \Delta b \Delta c}{\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2}}$

Формально переходя к пределу мы получим представление потенциала в виде следующего интеграла,

$u = \gamma \iiint\limits_{a^2 + b^2 + c^2 <= R^2} \frac{\rho(a,b,c) da \, db \, dc}{\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2}}$

который носит название объемного или ньютоновского потенциала.

Постоянную $\gamma$ мы, начиная с этой формулы опускаем.

Нетрудно, хотя и несколько громоздко, показывается, что если $\rho(a,b,c)$ имеет непрерывные первые производные, то потенциал $u(x,y,z)$ удовлетворяет уравнению Пуассона,

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = -4\pi\rho(x,y,z)$

Вне притягивающих масс, то есть там где $\rho = 0$ , это уравнение совпадает с уравнением Лапласа.

Заметим, что в задачах связанных с законом всемирного тяготения, плотность не может принимать отрицательные значения. Однако, в электростатике зарядам нужно приписывать знак, поэтому плотность может принимать как положительные так и отрицательные значения (под $\rho$ понимается плотность заряда).