Расчет скважины с трещиной конечной проводимости

В 1978 году появляется статья «Transient Pressure Behavior for a Well With a Finite-Conductivity Vertical Fracture» написанной коллективом авторов — Cinco L. Heber, Samaniego V. F., Dominguez A. N. из Instituto Mexicano del Petróleo (Мексика).

Рассмотрим течение жидкости в трещине. Выделим элементарный объем трещины,

$V = w \cdot h \cdot \Delta x$

В любой момент времени, масса жидкости в объеме находится в балансе между притоком, оттоком и изменением массы внутри объема. Разница между входом и выходом, должна уравновешиваться изменением внутренней массы объема,

$M_{in} - M_{out} = \Delta M$

Изменением массы внутри трещины за счёт сжимаемости можно пренебречь, поэтому задача становится стационарной,

$(v_f \cdot \rho \cdot w \cdot h)_{x} - (v_f \cdot \rho \cdot w \cdot h)_{x+\Delta x} = 0$

В трещину из пласта поступает масса жидкости, выраженная через удельный массовый приток на единицу длины,

$(v_f \cdot \rho \cdot w \cdot h)_{x} - (v_f \cdot \rho \cdot w \cdot h)_{x+\Delta x} + m_x \cdot \Delta x = 0$

Поделим обе части на $\Delta x$ и перейдем к $\Delta x \to 0$ ,

$-w \cdot h \, \frac{\partial (v_f \cdot \rho)}{\partial x} + m_x = 0$

Скорость фильтрации флюида в трещине подчиняется закону Дарси,

$v_f = - \frac{k_f}{\mu} \cdot \frac{\partial p_f}{\partial x}$

Получим,

$\frac{\partial^2 p_f}{\partial x^2} + \frac{\mu}{k_f} \cdot \frac{q_x}{w \cdot h} = 0$

где $q_x$ это удельный на метр объемный приток к трещине.

Введем безразмерный дебит трещины,

$q_D = q_x \cdot \frac{2x_f}{q_w}$

Умножим и поделим первое слагаемое на $\pi$ и $k$ ,

$(w \cdot x_f) \cdot \frac{2\pi}{\pi} \cdot \frac{kh}{\mu} \cdot \frac{1}{q_w} \cdot \frac{k_f}{k} \cdot \frac{\partial^2 p_f}{\partial x^2} + q_D = 0$

Здесь проявляется безразмерное давление,

$p_D = 2\pi \cdot \frac{kh}{\mu} \cdot \frac{(p_i - p_f)}{q_w}$

$\frac{\partial^2 p_f}{\partial x^2} = -\bigg( \frac{q_w \cdot \mu}{2\pi \cdot kh} \bigg ) \frac{\partial^2 p_D}{\partial x^2}$

Вот что получится,

$- (w \cdot x_f) \cdot \frac{1}{\pi} \cdot \frac{k_f}{k} \cdot \frac{\partial^2 p_D}{\partial x^2} + q_D = 0$

Расстояние также принято обезразмеривать,

$x_D = \frac{x}{x_f}$

$\frac{\partial^2 p_D}{\partial x^2} = \frac{1}{x_f^2} \cdot \frac{\partial^2 p_D}{\partial x_D^2}$

Получим,

$\frac{1}{\pi} \, \frac{k_f \cdot w}{k \cdot x_f} \, \frac{\partial^2 p_D}{\partial x_D^2} - q_D = 0$

Введем безразмерную проводимость трещины,

$F_{CD} = \frac{k_f \cdot w}{k \cdot x_f}$

И окончательно перейдем к безразмерной форме,

$\frac{\partial}{\partial x_D} \bigg(F_{CD} \frac{\partial p_D}{\partial x_D} \bigg) = \pi q_D$

Чтобы решить полученное уравнение, следует дополнить его начальными и граничными условиями. Начальное условие простое,

$p_f = p_i$

$p_D = 0$

Граничное условие постоянного дебита в точке $x = 0$ ,

$q_f = v_f \cdot w \cdot h = -\frac{k_f}{\mu} \cdot \frac{\Delta p_f}{\Delta x} \cdot w \cdot h$

Здесь минус не требуется, так как при течении жидкости от $x_f\to0$ , выражение $\Delta p / \Delta x$ положительно,

$\frac{\partial p_f}{ \partial x} \bigg |_{x=0} = \frac{q_f \cdot \mu}{k_f \cdot w \cdot h}$

$\frac{\partial p_D}{ \partial x_D} \bigg |_{x_D=0} = -\frac{\pi}{F_{CD}}$

Граничное условие на конце трещины, где торец трещины ГРП считается непроницаемым,

$\frac{\partial p_D}{ \partial x_D} \bigg |_{x_D=1} = 0$

Полученное уравнение интегрируем по всей длине трещины,

$\int\limits_{-x_D}^{x_D} \frac{\partial}{\partial x_D} \bigg(F_{CD} \frac{\partial p_D}{\partial x_D} \bigg) dx_D = \int\limits_{-x_D}^{x_D} \pi q_D dx_D$

$\int\limits_{-x_D}^{0} \frac{\partial}{\partial x_D} \bigg(F_{CD} \frac{\partial p_D}{\partial x_D} \bigg) dx_D + \int\limits_{0}^{x_D} \frac{\partial}{\partial x_D} \bigg(F_{CD} \frac{\partial p_D}{\partial x_D} \bigg) dx_D = \int\limits_{-x_D}^{0} \pi q_D dx_D + \int\limits_{0}^{x_D} \pi q_D dx_D$

Отметим, что в силу симметрии,

$q_{D}(-x_D) = q_{D}(x_D)$

$p_{D}(-x_D) = p_{D}(x_D)$

достаточно рассматривать только одну из половин трещины,

$\int\limits_{0}^{x_D} \frac{\partial}{\partial x_D} \bigg(F_{CD} \frac{\partial p_D}{\partial x_D} \bigg) dx_D = \int\limits_{0}^{x_D} \pi q_D dx_D$

$\bigg(F_{CD} \frac{\partial p_D}{\partial x_D} \bigg) \bigg |_{x_D=x_D} - \bigg(F_{CD} \frac{\partial p_D}{\partial x_D} \bigg) \bigg |_{x_D=0} = \pi \int\limits_{0}^{x_D} q_D dx_D$

Используя внутреннее граничное условие,

$\bigg(F_{CD} \frac{\partial p_D}{\partial x_D} \bigg) \bigg |_{x_D=x_D} + \bigg( F_{CD} \cdot \frac{\pi}{F_{CD}} \bigg) = \pi \int\limits_{0}^{x_D} q_D dx_D$

$F_{CD} \frac{\partial p_D}{\partial x_D} + \pi = \pi \int\limits_{0}^{x_D} q_D dx_D$

Интегрируем от $0$ до $x_D$ ,

$\int\limits_{0}^{x_D} \bigg(F_{CD} \frac{\partial p_D}{\partial x_D} \bigg) dx_D + \pi x_D = \pi \int\limits_{0}^{x_D} \int\limits_{0}^{x_D} q_D dx_D dx_D$

Проинтегрируем интеграл в правой части. Пусть $u = \int\limits_{0}^{x_D} q_D dx_D$ , тогда $du = q_D dx_D$ .

$\int u dv = uv - \int v du$

$\int\limits_{0}^{x_D} F_{CD} dp_D + \pi x_D = x_D \pi \int\limits_{0}^{x_D} q_D dx_D - \pi \int\limits_{0}^{x_D} x_D q_D dx_D$

Поделим трещину на равномерные отрезки, для произвольного отрезка $j$ ,

$\sum_{i=1}^j F_{CDi} \int\limits_{x_{Di-1/2}}^{x_{Di+1/2}} dp_D \, + \,\pi x_{Dj} = x_{Dj} \pi \sum_{i=1}^j\left( q_{Di} \int\limits_{x_{Di-1/2}}^{x_{Di+1/2}} dx_D \right ) - \pi \sum_{i=1}^j \left (q_{Di} \int\limits_{x_{Di-1/2}}^{x_{Di+1/2}} x_D dx_D \right )$

$\sum_{i=1}^j F_{CDi} \left(p_D(x_{Di+1/2}) - p_D(x_{Di-1/2}) \right) + \, \pi x_{Dj} =$

$=x_{Dj} \pi \sum_{i=1}^j \bigg( q_{Di} (x_{Di+1/2} - x_{Di-1/2} ) \bigg ) - \pi \sum_{i=1}^j \left (q_{Di} \frac{x^2_{Di+1/2}-x^2_{Di-1/2}}{2} \right )$

Определим,

$\Delta x_D = x_{i+1/2} - x_{i - 1/2}$

$x^2_{i+1/2} - x^2_{i - 1/2} = (x_{i+1/2} - x_{i - 1/2})(x_{i+1/2} + x_{i - 1/2})$

$x_{i+1/2} = x_i + \frac{\Delta x_D}{2}$

$x_{i-1/2} = x_i - \frac{\Delta x_D}{2}$

$x^2_{i+1/2} - x^2_{i - 1/2} = 2 \Delta x_D x_i$

Подставим определения,

$\sum_{i=1}^j F_{CDi} \left(p_D(x_{Di+1/2}) - p_D(x_{Di-1/2}) \right) \, + \, \pi x_{Dj} = x_{Dj} \pi \Delta x_D \sum_{i=1}^j q_{Di} - \pi \Delta x_D \sum_{i=1}^j \left (q_{Di} x_{Di}\right)$

Для первого блока $j=1$ ,

$F_{CD1} \left(p_D(x_{D1+1/2}) - p_D(x_{D1-1/2}) \right) \, + \, \pi x_{D1} = x_{D1} \pi \Delta x_{D} q_{D1} - \pi \Delta x_{D} q_{D1} x_{D1} = 0$

забойное давление скважины,

$p_D(x_{D1-1/2}) \equiv p_{wD} = p_D(x_{D1+1/2}) + \frac{\pi x_{D1}}{F_{CD1}}$

$p_D(x_{D1+1/2}) = p_{wD} - \frac{\pi x_{D1}}{F_{CD1}}$

Следующий блок $j = 2$ ,

$F_{CD1} \left(p_D(x_{D1+1/2}) - p_D(x_{D1-1/2}) \right) + F_{CD2} \left(p_D(x_{D2+1/2}) - p_D(x_{D2-1/2}) \right)+ \, \pi x_{D2} =$

$= x_{D2} \pi \Delta x_D (q_{D1} + q_{D2}) - \pi \Delta x_D (q_{D1} x_{D1} + q_{D2} x_{D2} ) = \pi \Delta x_D \cdot q_{D1} ( x_{D2} - x_{D1})$

$F_{CD1} \left(p_{wD} - \frac{\pi x_{D1}}{F_{CD1}} - p_{wD} \right) + F_{CD2} \left(p_D(x_{D2+1/2}) - p_{wD} + \frac{\pi x_{D1}}{F_{CD1}} \right)+ \, \pi x_{D2} = \pi \Delta x_D \cdot q_{D1} ( x_{D2} - x_{D1})$

$p_D(x_{D2+1/2})= p_{wD} - \pi x_{D1} \bigg (\frac{1}{F_{CD1}} - \frac{1}{F_{CD2}} \bigg )- \frac{\pi x_{D2}}{F_{CD2}} + \frac{\pi \Delta x^2_D \cdot q_{D1}}{F_{CD2}}$

И ещё один следующий блок $j = 3$ ,

$F_{CD1} \left(p_D(x_{D1+1/2}) - p_D(x_{D1-1/2}) \right) + F_{CD2} \left(p_D(x_{D2+1/2}) - p_D(x_{D2-1/2}) \right) +$

$+ F_{CD3} \left(p_D(x_{D3+1/2}) - p_D(x_{D3-1/2}) \right) + \pi x_{D3} =$

$=x_{D3} \pi \Delta x_D (q_{D1} + q_{D2}) - \pi \Delta x_D (q_{D1} x_{D1}+q_{D2} x_{D2})$

Разрешаем относительно $p_D(x_{D3+1/2})$ ,

$p_D(x_{D3+1/2})= p_{wD} - \pi x_{D1} \bigg (\frac{1}{F_{CD1}} - \frac{1}{F_{CD2}} \bigg )- \pi x_{D2} \bigg (\frac{1}{F_{CD2}} - \frac{1}{F_{CD3}} \bigg )- \frac{\pi x_{D3}}{F_{CD3}} +$

$+ \pi \Delta x^2_D \cdot q_{D1} \left(\frac{1}{F_{CD3}} + \frac{1}{F_{CD2}} \right) +\frac{\pi \Delta x^2_D \cdot q_{D2}}{F_{CD3}}$

И этого ещё не достаточно! Следующий блок $j = 4$ ,

$p_D(x_{D4+1/2})= p_{wD} - \pi x_{D1} \bigg (\frac{1}{F_{CD1}} - \frac{1}{F_{CD2}} \bigg )- \pi x_{D2} \bigg (\frac{1}{F_{CD2}} - \frac{1}{F_{CD3}} \bigg )- \pi x_{D3} \bigg (\frac{1}{F_{CD3}} - \frac{1}{F_{CD4}} \bigg )- \frac{\pi x_{D4}}{F_{CD4}} +$

$+ \pi \Delta x^2_D \cdot q_{D1} \left(\frac{1}{F_{CD4}} + \frac{1}{F_{CD3}} + \frac{1}{F_{CD2}} \right) + \pi \Delta x^2_D \cdot q_{D2} \left(\frac{1}{F_{CD3}}+\frac{1}{F_{CD4}} \right) +\frac{\pi \Delta x^2_D \cdot q_{D3}}{F_{CD4}}$

Окончательно, для сегмента $j$ собираем расчетную формулу,

$p_D(x_{Dj+1/2})= p_{wD} - \pi \sum_{i=1}^{j-1} x_{Di} \bigg (\frac{1}{F_{CDi}} - \frac{1}{F_{CDi+1}} \bigg ) - \frac{\pi x_{Dj}}{F_{CDj}} + \pi \Delta x^2_D \sum_{i=1}^{j-2} q_{Di} \sum_{jj=i+1}^{j} \frac{1}{F_{CDjj}} +\frac{\pi \Delta x^2_D \cdot q_{Dj-1}}{F_{CDj}}$

Такой вывод приведен в статье…

Однако нам потребуется выразить давление в центре расчетного сегмента $j$ . Используя тот же порядок последовательного раскрытия блоков, мы получим следующее выражение,

$p_D(x_{Dj}) = p_{wD} - \pi \sum_{i=1}^{j-1} x_{Di} \left( \frac{1}{F_{CDi}} - \frac{1}{F_{CDi+1}} \right) - \frac{\pi \cdot x_{Dj}}{F_{CDj}} + \pi \Delta x_D^2 \sum_{i=1}^{j-2} q_{Di} \sum_{jj=i+1}^{j} \frac{1}{F_{CDjj}} + \frac{\pi \Delta x_D^2 \cdot q_{Dj-1}}{2 \cdot F_{CDj}}$

Практическое моделирование

Расчет скважины с трещиной конечной проводимости

Добавить комментарий Отменить ответ

Комментарии

Архивы