Функции Грина. Продолжение.

Предположим, что решение неоднородной задачи существует при специальном способе задании правой части, когда $f(x)$ отлична от нуля лишь в эпсилон окрестности некоторой фиксированной точки $\xi$ ,

$g(x) = \begin{cases} 0,& x\leq \xi - \epsilon \\ f_\epsilon(x),& \xi - \epsilon \leq x \leq \xi + \epsilon \\ 0,& x \geq \xi + \epsilon \end{cases}$

Причем,

$\int_{\xi-\epsilon}^{\xi + \epsilon}f_\epsilon(x) \,dx} = 1$

Полученное решение задачи будем обозначать функцией $y_{\epsilon}(x, \xi)$ .

Проинтегрируем исходное дифференциальное уравнение по отрезку $[\xi - \epsilon, \xi + \epsilon]$ ,

$\int_{\xi-\epsilon}^{\xi + \epsilon} \left ( \frac{d}{dx} \left[p(x) \frac{dy_\epsilon}{dx} \right] -q(x)y_{\epsilon}(x, \xi) \right ) dx= \int_{\xi-\epsilon}^{\xi + \epsilon} f_{\epsilon}(x) dx$

$\left[p(x) \frac{dy_\epsilon}{dx} \right] \Bigg |_{\xi-\epsilon}^{\xi+\epsilon} - \int_{\xi-\epsilon}^{\xi + \epsilon} \left q(x)y_\epsilon(x, \xi) dx = 1$

$p(\xi+\epsilon)y'_\epsilon(\xi+\epsilon, \xi) - p(\xi-\epsilon)y'_\epsilon(\xi-\epsilon, \xi) - \int_{\xi-\epsilon}^{\xi + \epsilon} \left q(x)y_\epsilon(x, \xi) dx = 1$

Перейдем к пределу $\epsilon \to 0$ . Функция $q(x)$ и $y_\epsilon(x, \xi)$ непрерывные, поэтому интеграл при стягивании границ к эпсилон равен нулю,

$\lim_{\epsilon \to 0} \int_{\xi-\epsilon}^{\xi + \epsilon} \left q(x)y_\epsilon(x, \xi) dx = 0$

функция $p(x)$ также непрерывная, поэтому

$p(\xi) y'_\epsilon(\xi+\epsilon, \xi) - p(\xi)y'_\epsilon(\xi-\epsilon, \xi) = 1$

обозначим

$\lim_{\epsilon \to 0} y_{\epsilon}(x, \xi) = G(x, \xi)$

Разница производных функции $G$ в точке $\xi$ не равна нулю, следовательно производная функции имеет разрыв первого рода,

$G'(x, \xi) \Bigg |_{x=\epsilon - 0}^{x =\epsilon + 0} = \frac{1}{p(\xi)}$

Можно утверждать, что если функция $G(x,\xi)$ существует, то она подчиняется следующим условиям.

$G(x,\xi)$ удовлетворяет однородному уравнению $L(y)=0$ при $x \ne \xi$ ;
$G(x,\xi)$ удовлетворяет граничным условиям;
$G(x,\xi)$ непрерывна на $[a,b]$ ;
$G'(x,\xi)$ в точке $x=\xi$ имеет разрыв первого рода.

Функцию, удовлетворяющую приведенным условиям, называют функцией Грина краевой задачи. Через функцию Грина можно выразить решение краевой задачи с произвольной правой частью $f(x)$ . Запишем два решения,

$L[y] = f(x)$

$L[G] = g(x)$

Умножим первое решение на ${G}$ , а второе решение на ${y}$ и вычитая почленно получим,

${G\, L[y] - y\, L[G] = G\, f(x) - y\, g(x) }$

${G\, \frac{d}{dx} \left[p(x) \frac{dy}{dx} \right] - y\, \frac{d}{dx} \left[p(x) \frac{dG}{dx} \right] = G\, f(x) - y\, g(x) }$

Рассмотрим отдельно выражение,

$\frac{d}{dx} \left[G \, p(x) \, \frac{dy}{dx} - y \, p(x) \,\frac{dG}{dx} \right] = \frac{d}{dx} \left[G \, p(x) \,\frac{dy}{dx} \right ] - \frac{d}{dx} \left[ y \, p(x) \,\frac{dG}{dx} \right] =$

$\frac{dy}{dx}\,p(x) \frac{dG}{dx} + G \frac{d}{dx} \left [ p(x) \frac{dy}{dx}\right ] - \frac{dy}{dx}\,p(x) \frac{dG}{dx} - y \frac{d}{dx} \left [ p(x) \frac{dG}{dx}\right ] =$

$G\, \frac{d}{dx} \left[p(x) \frac{dy}{dx} \right] - y\, \frac{d}{dx} \left[p(x) \frac{dG}{dx} \right]$

Тогда можно записать, что

${\frac{d}{dx} \left[p(x) \left ( G \, \frac{dy}{dx} - y \, \frac{dG}{dx} \right ) \right] = G\, f(x) - y\, g(x) }$

Это соотношение носит название тождества Лагранжа.

Его интегральная форма называется формулой Грина,

${ \int_a^b (G\, L[y] - y\,L[G]) dx = \left[p(x) \left ( G \,\frac{dy}{dx} - y \, \frac{dG}{dx} \right ) \right] \Bigg |_{x=a}^{x=b}$

Можно также записать интеграл,

${ \int_a^b (G\, L[y] - y\,L[G]) dx = \int_a^b G(x,\xi) \, f(x) dx - \int_a^b y(x) \, g(x) dx$

Функция $g(x)$ является предвестником дельта функции, которая обладает свойством фильтрации,

$\int_a^b y(x) \, g(x) dx = y(\xi)$

Объединяя два интеграла найдем что,

$y(\xi) = \int_a^b G(x,\xi) \, f(x) dx - \left[p(x) \left ( G \,\frac{dy}{dx} - y \, \frac{dG}{dx} \right ) \right] \Bigg |_{x=a}^{x=b}$

Покажем, что функция Грина обладает свойством симметрии аргументов.

$G(x,\xi) = \frac{1}{pW} \begin{cases} \displaystyle y_2(x) \cdot y_1(\xi), & a\leq \xi \leq x \\ \displaystyle y_1(x) \cdot y_2(\xi), & x \leq \xi \leq b \end{cases}$

Поменяем местами $x$ и $\xi$ ,

$G(\xi, x) = \frac{1}{pW} \begin{cases} \displaystyle y_2(\xi) \cdot y_1(x), & a\leq x \leq \xi \\ \displaystyle y_1(\xi) \cdot y_2(x), & \xi \leq x \leq b \end{cases}$

Сравнивая записи, найдем что

$G(x, \xi) = G(\xi, x)$

Меняя местами аргументы и используя свойство симметрии, получим

$y(x) = \int_a^b G(x,\xi) \, f(\xi) d\xi - \left[p(\xi) \left ( G(x,\xi) \,\frac{dy}{d\xi} - y(\xi) \, \frac{dG(x,\xi)}{d\xi} \right ) \right] \Bigg |_{\xi=a}^{\xi=b}$

Набор граничных условий определяет граничные условия для функции Грина. Раскроем правое слагаемое,

$p(\xi) \left ( G(x,\xi) \,\frac{dy}{d\xi} - y(\xi) \, \frac{dG(x,\xi)}{d\xi} \right ) \right] \Bigg |_{\xi=a}^{\xi=b} =$

$=p(b) \left [ G(x,b) \,\frac{dy(b)}{d\xi} - y(b) \, \frac{dG(x,b)}{d\xi} \right ] - p(a) \left [ G(x,a) \,\frac{dy(a)}{d\xi} - y(a) \, \frac{dG(x,a)}{d\xi} \right ]$

Допустим, если заданы однородные граничные условия первого рода,

$y(a)=0,y(b)=0$

тогда,

$=p(b) G(x,b) \,\frac{dy(b)}{d\xi} - p(a) G(x,a) \,\frac{dy(a)}{d\xi}$

и на функцию Грина можно наложить такие же граничные условия,

$G(x,a)=0,G(b,\xi)=0$

С учетом которых, приходим к известному общему решению,

$y(x) = \int_a^b G(x,\xi) \, f(\xi) d\xi$

Для неоднородных граничных условий первого рода,

$y(a)=u_a,y(b)=u_b$

тогда,

$=p(b) \left [ G(x,b) \,\frac{dy(b)}{d\xi} - u_b \, \frac{dG(x,b)}{d\xi} \right] - p(a)\left [ G(x,a) \,\frac{dy(a)}{d\xi} - u_a \, \frac{dG(x,a)}{d\xi} \right ]$