(из вводной части «Уравнения математической физики» С.К.Годунова) Курс уравнений с частными производными существенно отличается от курса обыкновенных дифференциальных уравнений тем, что в этом курсе будут изучаться далеко не все уравнения, которые можно выписать используя значки частных производных. Мы ограничимся только совсем немногочисленными конкретными примерами уравнений и систем. Не надо думать, что изучаемые примеры случайны с […]
Величины, для определения которых достаточно знать одно число, называются скалярами. Величины, которые характеризуются дополнительно также и направлением в пространстве, называются векторами. Многие величины имеют ещё более сложную структуру, для определения которых недостаточно знать значение и направление. Они называются тензорами второго и более высших рангов. Вектор изображается отрезком прямой, направление которого определяет направление рассматриваемой величины, а […]
Рассмотрим функцию определенную в некотором промежутке. Аргумент получая некоторое приращение , приводит к изменению функции на величину , Составим отношение приращения функции к приращению аргумента, Если предел при стремлении существует, то его называют производной функции, Конкретное значение производной при обозначается или . Возьмем на кривой произвольную точку и проведем […]
Комплексным числом называется выражение , где и это вещественные числа, а мнимая единица обладает свойством . Арифметика комплексных чисел определяется привычным образом, Равенство, , только когда и Сложение, Умножение, Комплексная плоскость позволяет представить комплексное число как точку прямоугольной, декартовой системы координат. Горизонтальная ось называется реальной осью (Re), а вертикальная ось соответственно мнимой осью (Im). Комплексное […]
При решении многих задач математической физики приходят к линейному уравнению Бесселя, Решение уравнения следует искать не в форме степенного ряда, а в виде произведения некоторой степени на степенной ряд, которое можно переписать в виде, Найдем производные, Подставим в уравнение, Раскроем первые несколько членов, […]
Определение Предположим, что функция имеет непрерывную производную порядка в интервале , тогда интегрирование даст следующее понижение порядка, Повторим интегрирование полученного результата, И еще раз, Наконец, после кратного интегрирования можно добраться и до самой функции, Вложенный интеграл слева называется остаточным членом, Привлекая […]
Определение Преобразование Лапласа функции определяется как, Интегрирование проводится по переменной и определяет новую функцию с переменной , которая выбирается таким образом, чтобы интеграл сходился. Для сокращения нотации, вместо будем иногда использовать заглавную букву функции. Например, преобразование Лапласа функции кратко запишем как . Пусть задана функция где это действительное число, преобразование Лапласа такой функции […]
Комментарии