Ряд Тейлора

Определение

Предположим, что функция $f(x)$ имеет непрерывную производную порядка $n$ в интервале $a<=x<=b$ , тогда интегрирование даст следующее понижение порядка,

$\int_a^x f^{(n)} dx = f^{(n-1)}(x) \bigg |_a^x = f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(a)$

Повторим интегрирование полученного результата,

$\int_a^x \left ( \int_a^x f^{(n)} dx \right ) = \int_a^x f^{(n-1)}(x) \, dx - \int_a^x \underbrace{f^{(n-1)}(a)}_{const}\, dx =$

$= f^{(n-2)}(x) \bigg |_a^x - f^{(n-1)}(a) \bigg |_a^x = f^{(n-2)}(x) - f^{(n-2)}(a) - (x-a) \cdot f^{(n-1)}(a)$

И еще раз,

$\int_a^x \left ( \int_a^x \int_a^x f^{(n)} dx \right ) = f^{(n-3)}(x) \bigg |_a^x - f^{(n-2)}(a)\bigg |_a^x - \int_a^x (x-a) \cdot f^{(n-1)}(a) dx =$

$\underbrace{f^{(n-3)}(x) - f^{(n-3)}(a) - (x - a) \cdot f^{(n-2)}(a)}_{prev} - (x-a) \cdot f^{(n-2)}(x)- f^{(n-1)}(a) \frac{(x-a)^2}{2}$

Наконец, после $n$ кратного интегрирования можно добраться и до самой функции,

$\int...\int f^{(n)} (dx)^n = f(x) - f(a) - (x-a) f'(a) - \frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)-...-\frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a)$

Вложенный интеграл слева называется остаточным членом,

$R_n = \int...\int f^{(n)} (dx)^n$

Привлекая теорему о среднем значении,

$\int_a^x g(x) \, dx = (x - a) g(\xi)$

где $a <= \xi <= x$ , получим запись остаточного члена в форме Лагранжа

$R_n = \frac{(x-a)^{n}}{n!}f^{(n)}(\xi)$

Тогда ранее выполненные преобразования, запишутся как

$f(x) = f(a) + (x-a) f'(a) + \frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+...+\frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a) + R_n$

Заметим, что это выражение точное. Оно содержит все члены и при его получении не делалось никаких предположений. Вопрос о сходимости полученного ряда также не возникает, так как он конечен. Задача заключается только в выяснении величины остаточного члена.

Если,

$\lim_{n \to \infty}R_n = 0$

то полученное разложение в ряд называется рядом Тейлора,

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-a)^{n}}{n!}f^{(n)}(a)$

От точки $a$ , зависит область сходимости ряда Тейлора. При выборе в качестве точки $a = 0$ , получим ряд Маклорена.

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} \cdot f^{(n)}(0)$

Для примера, разложим в ряд Маклорена функцию $f(x) = e^x$ .

Находим последовательные производные функции и значения в выбранной точке разложения,

$f(x) = e^x, f(0) = 1$

$f'(x) = e^x, f'(0) = 1$

$f''(x) = e^x, f''(0) = 1$

$f'''(x) = e^x, f'''(0) = 1$

Получим следующее разложение в ряд,

$e^x = 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... + \frac{x^n}{n!} = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!}$

Следующий пример. Разложим в ряд функцию $f(x) = \ln (1 + x)$ .

$f(x) = ln(1 + x), f(0) = 0$

$f'(x) = \frac{1}{1 + x}, f(0) = 1$

$f''(x) = -\frac{1}{(1 + x)^2}, f(0) = -1$

$f'''(x) = \frac{2}{(1 + x)^3}, f(0) = 2$

$f''''(x) = -\frac{2 \cdot 3}{(1 + x)^4}, f(0) = 6$

Получим,

$ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ... = \sum_{n = 1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$

Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов

Функция $f$ называется аналитической в точке $x_0$ , если $f(x)$ раскладывается в степенной ряд в некотором интервале $(x_0-h; x_0+h)$ относительно точки $x_0$ . В этом интервале,