Уравнение Бесселя

При решении многих задач математической физики приходят к линейному уравнению Бесселя,

$x^2 y'' + xy' + (x^2 - \nu^2) y = 0$

Решение уравнения следует искать не в форме степенного ряда, а в виде произведения некоторой степени $x$ на степенной ряд,

$y = x^r \cdot \sum_{k = 0}^\infty a_k \cdot x^k$

которое можно переписать в виде,

$y = \sum_{k = 0}^\infty a_k \cdot x^{r + k}$

Найдем производные,

$y' = \sum_{k = 0}^\infty a_k \cdot (r+k) x^{r + k - 1}$

$y'' = \sum_{k = 0}^\infty a_k \cdot (r+k)(r+k-1) x^{r + k - 2}$

Подставим в уравнение,

$x^2 \sum_{k = 0}^\infty a_k \cdot (r+k)(r+k-1) x^{r + k - 2} + x \sum_{k = 0}^\infty a_k \cdot (r+k) x^{r + k - 1} + (x^2 - \nu^2) \sum_{k = 0}^\infty a_k \cdot x^{r + k} = 0$

Раскроем первые несколько членов,

$\begin{equation*} \begin{align} &a_0 \, r (r-1) x^{r} & & + a_1 \, (r+1)r \, x^{r+1} & & + a_2 \, (r+2)(r+1) \, x^{r+2} & & + a_3 \, (r+3)(r+2) \, x^{r+3}+... \\ &a_0 \, r \,x^{r} & & + a_1\, (r+1) x^{r+1} & & + a_2 \, (r+2) x^{r +2} & & + a_3 \, (r+3) x^{r+3}+... \\ &a_0 x^{r + 2} & & + a_1 \, x^{r + 3} & & + a_2\, x^{r + 4} & & + a_3\, x^{r + 5}+...\\ - &a_0 \, \nu^2 x^{r} & & - a_1 \nu^2 \, x^{r + 1} & & - a_2 \, \nu^2 x^{r + 2} & & - a_3 \,\nu^2 x^{r + 3} +...= 0 \end{align} \end{equation*}$

Перегруппируем относительно степеней $x$ ,

$\begin{equation*} \begin{align} &x^{r}\,a_0\,r (r-1) & & + x^{r+1}\,a_1 \, (r+1)r & & + x^{r+2} \, a_2 \, (r+2)(r+1) & & + x^{r+3}\,a_3 \, (r+3)(r+2)+...\\ &x^{r}\, a_0 \,r & & + x^{r+1}\,a_1\, (r+1) & & + x^{r +2}\,a_2 \, (r+2) & & + x^{r+3} \, a_3 \, (r+3) +...\\ & & & & & + x^{r + 2}\,a_0 & & + x^{r+3}\,a_1 +...\\ - &x^{r} \, a_0\,\nu^2 & & - x^{r+1} \, a_1 \nu^2 & & - x^{r +2} \, a_2 \, \nu^2 & & - x^{r+3} \, a_3 \,\nu^2 +...=0 \end{align} \end{equation*}$

Приравнивая к нулю коэффициенты при различных степенях $x$ , будем иметь,

$\begin{equation*} \begin{cases} a_0 \left[ r (r-1) + r - \nu^2 \right] = 0 \\ a_1 \left[ (r + 1) r + (r + 1) - \nu^2 \right] = 0 \\ a_2 \left[ (r + 2) (r + 1) + (r+2) - \nu^2\right] + a_0 = 0 \\ a_3 \left[ (r + 3) (r + 2) + (r+3) - \nu^2\right] + a_1 = 0 \\ ...\\ \end{cases} \end{equation*}$

Из первого уравнения системы, полагая что $a_0 \neq 0$

$r^2 - v^2 = 0$

получим два решения для $r$ ,

$\begin{equation*} \begin{split} \[r_1 = + \nu \\ r_2 = - \nu\] \end{split} \end{equation*}$

Если мы возьмем первый, положительный корень, то получим следующую систему,

$\begin{equation*} \begin{cases} a_0 \left[ \nu (\nu-1) + \nu - \nu^2 \right] = 0 \\ a_1 \left[ (\nu + 1) \nu + (\nu + 1) - \nu^2 \right] = 0 \\ a_2 \left[ (\nu + 2) (\nu + 1) + (\nu+2) - \nu^2\right] + a_0 = 0 \\ a_3 \left[ (\nu + 3) (\nu + 2) + (\nu+3) - \nu^2\right] + a_1 = 0 \\ ...\\ \end{cases} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \begin{cases} a_0 \cdot 0= 0 \\ a_1 \cdot 1 \cdot (1 + 2 \nu) = 0 \\ a_2 \cdot 2 \cdot (2 + 2 \nu) + a_0 = 0 \\ a_3 \cdot 3 \cdot (3 + 2 \nu) + a_1 = 0 \\ ...\\ \end{cases} \end{equation*}$

Для значений $k > 1$ следует рекуррентная запись,

$a_k \cdot k \cdot (k + 2 \nu) + a_{k-2} = 0$

$a_k = - \frac{a_{k-2}}{k \cdot (k + 2 \nu)}$

где коэффициент $a_0$ остается пока неопределенным,

$\begin{equation*} \begin{cases} a_0 = a_0 \\ a_1 = 0 \\ a_2 = -a_0 /( 2 \cdot (2 + 2 \nu))\\ a_3 = 0 \\ a_4 = -a_2 /(4 \cdot (4 + 2 \nu))\\ a_5 = 0 \\ a_6 = -a_4 /(6 \cdot (6 + 2 \nu))\\ ...\\ \end{cases} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \begin{cases} a_0 = a_0 \\ a_1 = 0 \\ a_2 = -a_0 /( 2 \cdot (2 + 2 \nu))\\ a_3 = 0 \\ a_4 = +a_0 /( 2 \cdot (2 + 2 \nu) \cdot 4 \cdot (4 + 2 \nu))\\ a_5 = 0 \\ a_6 = -a_0 /( 2 \cdot (2 + 2 \nu) \cdot 4 \cdot (4 + 2 \nu) \cdot 6 \cdot (6 + 2 \nu))\\ ...\\ \end{cases} \end{equation*}$

Для нечетных коэффициентов имеем,

$a_{2k+1} = 0$

И очевидно, для четных коэффициентов,

$a_{2k} = (-1)^k \, \frac{a_0}{2^{2k} (\nu + 1) (\nu + 2)...(\nu + k) \cdot k!}$

Это выражение может быть упрощено, если использовать одно из основных свойства гамма-функции,

$\Gamma (\nu + 1) = \nu \Gamma (\nu)$

применяя которое несколько раз, получим

$\Gamma (\nu + k + 1) = (\nu + 1) (\nu + 2)...(\nu + k) \Gamma (\nu + 1)$

Выберем коэффициент $a_0$ следующим образом,

$a_0 = \frac{1}{2^\nu \Gamma (\nu + 1)}$

Тогда, выражение для четных коэффициентов примет следующий вид,

$a_{2k} = \frac{(-1)^k}{2^{2k+\nu} \, k! \, \Gamma(\nu + k + 1)}$

Найденные коэффициенты позволяют получить частное решение уравнение Бесселя. Это решение носит название функции Бесселя 1-го рода $\nu$ -го порядка и обозначается обычно через $J_\nu(x)$ .

$J_\nu(x) = \sum_{k = 0}^\infty \left (\frac{x}{2} \right )^{2k + \nu} \frac{(-1)^k}{k! \, \Gamma(\nu + k + 1)}$

Используя второй, отрицательный корень, построим второе частное решение уравнения Бесселя, которое может быть получено простой заменой $\nu$ на $-\nu$ ,

$J_{-\nu}(x) = \sum_{k = 0}^\infty \left (\frac{x}{2} \right )^{2k - \nu} \frac{(-1)^k}{k! \, \Gamma(-\nu + k + 1)}$

Общее решение линейного дифференциального уравнения может быть составлено из известных двух частных решений,

$y = C_1 y_1 + C_2 y_2$

при условии линейной независимости частных решений.

К сожалению, полученное частное второе решение для целых $n$ линейно зависит от первого решения и не может быть использовано для определения общего решения.

Для того, чтобы найти общее решение рассматривается линейно-независимое от $J_\nu(x)$ решение, составленное из линейной комбинации частных решений $J_\nu(x)$ и $J_{-\nu}(x)$ ,

$Y_{\nu}(x) = \frac{1}{\sin \nu \pi} \left [ J_\nu(x) \cos \nu \pi - J_{-\nu}(x) \right ]$

Введенная здесь функция $Y_{\nu}(x)$ называется функцией Бесселя 2-го рода $\nu$ -го порядка или функцией Вебера.

Общее решение уравнения Бесселя, может быть представлено в виде,

$y = C_1 J_\nu(x) + C_2 Y_{\nu}(x)$

где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.

Отметим, что

$\lim_{x \to 0} Y_{\nu} (x) = \infty$

поэтому для получения конечного решения при $x = 0$ , принимают коэффициент $C_2 = 0$ .

Уравнение Бесселя можно представить также как,

$x^2 y'' + xy' + (x^2 - \nu^2) y = 0$

$y'' + \frac{1}{x} \, y' + \left (1 - \frac{\nu^2}{x^2} \right ) y = 0$

На практике часто встречается уравнение с коэффициентом $k$ ,

$y'' + \frac{1}{x} \, y' + \left (k^2 - \frac{\nu^2}{x^2} \right ) y = 0$

которое сводится к уравнению Бесселя через замену $\xi = kx$ ,

$y'' + \frac{1}{\xi} \, y' + \left (1 - \frac{\nu^2}{\xi^2} \right ) y = 0$

Общее решение которого,

$y = C_1 J_\nu(kx) + C_2 Y_{\nu}(kx)$

Также встречается следующая форма уравнения Бесселя,

$d(xy') = y' + x \cdot y''$

$\frac{1}{x} \frac{d}{dx} \left ( x \frac{dy}{dx} \right) + \left (1 - \frac{\nu^2}{x^2} \right ) y = 0$

Модифицированные функции Бесселя

Если мы сделаем замену коэффициента $k$ мнимой единицей $k = i$ , получим,

$y'' + \frac{1}{x} \, y' - \left (1 + \frac{\nu^2}{x^2} \right ) y = 0$

Решение можно найти делая замену $x$ в степенном ряду на $ix$ . Функция

$I_v(x) = i^{-\nu} J_\nu(ix)$

называется модифицированной функцией Бесселя 1-го рода $\nu$ -го порядка, которая всегда дает реальное значение.

Второе частное решение, называется модифицированной функцией Бесселя 2-го рода и определяется как,

$K_{\nu}(x) = \frac{\pi / 2}{\sin \nu \pi} \left [I_{-\nu}(x) - I_{\nu}(x) \right )$

Общее решение,

$y = C_1 I_\nu(x) + C_2 K_{\nu}(x)$

Поведение модифицированных функций похоже на поведение экспоненциальных функций, что заметно для асимптотических аппроксимаций функций нулевого порядка,

Для $x \to \infty$ ,