Комплексные числа, функции и вычеты

Комплексным числом называется выражение $z = x + iy$ , где $x$ и $y$ это вещественные числа, а мнимая единица обладает свойством $i^2 = -1$ .

Арифметика комплексных чисел определяется привычным образом,

Равенство, $a + ib = c + id$ , только когда $a = c$ и $b = d$
Сложение, $(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d)$
Умножение, $(a + ib) \cdot (c + id) = (ac - bd) + i (ad + bc)$

Комплексная плоскость позволяет представить комплексное число как точку $(x,y)$ прямоугольной, декартовой системы координат. Горизонтальная ось называется реальной осью (Re), а вертикальная ось соответственно мнимой осью (Im).

Комплексное число можно представить также в тригонометрической форме, из которой следует более простое определение умножения двух комплексных чисел,

$z_1 \, z_2 = r_1 \, r_2 \left(\cos (\theta_1 + \theta_2) + i \sin (\theta_1 + \theta_2) \right)$

Для примера, рассмотрим возведение в степень чисто мнимого числа $i$ . Умноженное само на себя, изначальное комплексное число с координатами $z = 0 + i \cdot 1$ поворачивается против часовой стрелки, возвращаясь в исходную позицию,

Из формулы умножения комплексных чисел, следует формула возведения комплексного числа в целую положительную степень (формула Муавра),

$\left[ r(\cos \theta + i \sin \theta) \right ]^n = r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)$

Показательная функция от чисто мнимого аргумента, определяется формулой Эйлера,

$e^{i \varphi }= \cos \varphi + i \sin \varphi$

с помощью которой всякое число можно представить в показательной форме,

$z = r \cdot e^{i \varphi }= r \left [ \cos \varphi + i \sin \varphi \right ]$

Комплексная функция $w = f(z)$ присваивает каждой независимой переменной $z$ одно или несколько зависимых комплексных переменных $w$ . Для $z = x + iy$ и $w = u + iv$ , можно записать,

$w = f(z) = u(x,y) + i \cdot v(x, y)$

где $u$ и $v$ это функции реальных переменных, представляющие вещественную и мнимую часть функции $f(z)$ .

Интегрирование комплексной функции проводится вдоль заданной гладкой кривой. Рассмотрим комплексную функцию $f(z)$ и гладкую параметрическую кривую $\Gamma(t)$ определенную для $a<=t<=b$ . Интегралом вдоль кривой $\Gamma$ от функции комплексного переменного называется число, вычисляемое по правилу,

$\int\limits_\Gamma f(z) dz = \int_a^b f[z(t)] z'(t) dt$

где в качестве $z(t)$ подставляется уравнение параметрической кривой $\Gamma(t)$

Вычислим интеграл функции $f(z)=z^2$ , вдоль контура $\Gamma(t)=t + i\cdot t$ , для $0<=t<=1$ .

$\int\limits_\Gamma z^2 dz = \int_0^1 {(\underbrace{t + i \cdot t}_{z(t)})^2} \underbrace{(1 + i)}_{z'(t)} dt = \int_0^1 t^2 (1 + i)^2 (1 + i) dt = \frac{(1+i)^3}{3}$

Комплексное число $z = 1 + i$ , запишем в тригонометрической форме и применим формулу Муавра,

$z = 1 + i = \sqrt{2} (\cos 45 + i \cdot \sin 45)$

$z^3 = \sqrt{2}^3 \left (\cos \frac{3\pi}{4} + i \cdot \sin \frac{3 \pi}{4} \right ) = 2 \sqrt{2} \left (-\frac{\sqrt{2}}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right ) = -2 + i \cdot 2$

Решение,

$\int\limits_\Gamma z^2 dz = \frac{2}{3} \left (-1 + i \right )$

Вычислим интеграл от функции $f(z) = (z-a)^n$ по окружности радиусом $r$ с центром в $a$ , направление обхода которой против часовой стрелки (положительное направление обхода).

Подставим параметрическое уравнение кривой в функцию $f(z)$ ,

$f [z(t)] = (z(t) - a)^n = r^n \cdot (\cos t + i \cdot \sin t )^n$

И найдем производную используя $-1 = i^2$ ,

$z'(t) = -r \cdot \sin t + r \, i \cdot \cos t = i \, r (\cos t + i \cdot \sin t)$

Получим,

$\int\limits_{|z-a|=r} (z-a)^n \, dz = \int_0^{2\pi} i \, r^{n+1} (\cos t + i \cdot \sin t)^{n+1} dt$

Для значения $n = -1$ ,

$\int\limits_{|z-a|=r} \frac{dz}{z-a} = 2 \pi i$

Для всех других $n \neq 1$ ,

$\int\limits_{|z-a|=r} (z-a)^n = 0$

Интегральная теорема Коши это первая из двух основных теорем в теории функции комплексного переменного.

Если функция $f(z)$ аналитична в некоторой односвязной области $D$ и имеет в ней непрерывные частные производные, то для всех замкнутых кривых $\Gamma$ в $D$ контурный интеграл равен нулю,

$\oint\limits_\Gamma f(z) dz = 0$

Знак овала в интеграле напоминает о замкнутости кривой интегрирования. Под односвязной областью (simple connected region) понимается область внутри замкнутого контура, которая не содержит отверстий или других особенностей.

Рассмотрим интеграл по кривой $\Gamma_1$ для двух точек $z_1,z_2\in D$ . Достроим кривую $\Gamma_2$ , которая образует замкнутый контур $\Gamma_1 + \Gamma_2$ , интеграл которого равен нулю,

искомый интеграл по кривой $\Gamma_1$ равен интегралу вычисленному по любой другой произвольной кривой выходящей из $z_1$ в $z_2$ или другими словами, не зависит от пути интегрирования, а определяется только конечными точками и направлением интегрирования.

Интегральная формула Коши это вторая основная теорема, которая позволяет найти значение аналитичной функции $f(z)$ в точке $z_0$ , определив интеграл вдоль замкнутого контура $\Gamma$ построенный вокруг искомой точки.

$\frac{1}{2\pi i} \cdot \oint\limits_\Gamma \frac{f(z)}{z-z_0} dz = f(z_0)$

Из интегральной формулы Коши, можно получить выражение для производной $f(z)$ , прямым дифференцированием под знаком интеграла по $z_0$ ,

$f'(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \cdot \oint\limits_\Gamma \frac{f(z)}{(z-z_0)^2} \, dz$

Продолжая дифференцирование, в конечном итоге получаем,

$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \cdot \oint\limits_\Gamma \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} \, dz$

Попробуем решить следующий интеграл при помощи интегральной формулы Коши,

$\oint\limits_{|z|=2} \frac{2z - i}{(z + 1)(z-i)} dz$

Подынтегральная функция является аналитической в круге $|z| = 2$ , за исключением особых точек (singularities) $z = -1$ и $z = i$ для которых знаменатель функции $f(z)$ обращается в ноль.

Опишем вокруг особых точек окружности $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ столь малых радиусов, чтобы они не пересекались друг с другом и целиком лежали внутри круга $|z|<2$ .

Сделаем произвольные разрезы, которые объединяют внешний контур с двумя внутренними контурами. Новый контур вычитает области особых точек и образует односвязную область, интеграл которой равен нулю.

Сумма интегралов определенных по линии разреза взаимно сокращается, следовательно

$\oint\limits_\Gamma f(z) + \oint\limits_{\Gamma_1} f(z) + \oint\limits_{\Gamma_2} f(z) = 0$

Изменяя направление обхода внутренних контуров,

$\oint\limits_\Gamma f(z) = \oint\limits_{\Gamma_1} f(z) + \oint\limits_{\Gamma_2} f(z)$

Интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов определенных по контуру вокруг особых точек. Преобразуем исходный интеграл так, чтобы в знаменателе образовалась разность $z-z_0$ ,

$\oint\limits_{|z|=2} \frac{2z - i}{(z + 1)(z-i)} dz = \oint\limits_{\Gamma_1} \frac{\frac{2z-i}{z-i}}{(z + 1)} dz + \oint\limits_{\Gamma_2} \frac{\frac{2z-i}{z+1}}{(z - i)} dz$

Тогда в числителе формируется $f(z)$ из интегральной формулы Коши.

$= \oint\limits_{\Gamma_1} \frac{\frac{2z-i}{z-i}}{(z + 1)} dz + \oint\limits_{\Gamma_2} \frac{\frac{2z-i}{z+1}}{(z - i)} dz = 2\pi i \left (\frac{2z-i}{z-i} \Bigg |_{z_0 = -1} \right ) + 2\pi i \left (\frac{2z-i}{z+1} \Bigg |_{z_0 =i} \right)$

Получим,

$\oint\limits_{|z|=2} \frac{2z - i}{(z + 1)(z-i)} dz = 2\pi i \left (\frac{-2-i}{-1-i} \right ) + 2\pi i \left (\frac{2i-i}{i+1} \right) = 4 \pi i$

Из приведенного примера следует способ вычисления интегралов с помощью вычетов. Интеграл от $f(z)$ по $\Gamma$ равен сумме вычетов в изолированных особых точках, умноженной на $2 \pi i$ (теорема Коши о вычетах)

$\oint\limits_{\Gamma} f(z) dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} Res(z_k)$

Особая точка называется изолированной, если в некоторой её окрестности $f(z)$ не имеет других особых точек. Изолированная особая точка называется полюсом, если

$\lim_{z\to z_0} f(z) = \infty$

Если функцию $f(z)$ можно представить в виде,

$f(z) = \frac{\phi (z)}{(z - z_0)^m}$

тогда точку $z_0$ называют полюсом m-порядка. В случае $m = 1$ полюс называется простым.

Вычет в простом полюсе вычисляется как,

$Res(z_0) = \lim_{z\to z_o} (z - z_0) f(z)$

Вычет простого полюса также можно найти предполагая функцию $f(z)$ в виде двух аналитических многочленов,

$f(z) = \frac{p(z)}{q(z)}$

тогда вычет можно определить как,

$Res(z_0) = \frac{p(z)}{q'(z)}$

Для полюса порядка $m > 1$ , вычет функции $f(z)$ в точке $z_0$ равен пределу производной $(m-1)$ порядка функции $(z-z_0)^m f(z)$ деленному на $(m - 1)!$ .

$Res(z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_o} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \Bigg( (z-z_0)^m f(z) \Bigg )$

Если приведение функции $f(z)$ к рациональной дроби, где в числителе $(z - z_0)^m$ затруднено или невозможно, применяют разложение в степенной ряд комплексной переменной.

Ряд Лорана является расширением ряда Тейлора для комплексной переменной. Ряд Лорана позволяет изучать функции в окрестностях точек, где они теряют аналитичность. Пусть $f(z)$ дифференцируема в кольце $r < |z-z_0| < R$ , тогда для каждого $z$ внутри кольца существует разложение,

$f(z) =\sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n$

Проинтегрировав почленно ряд Лорана, охватывающему одну изолированную особую точку $z_0$ , получим

Для $n \neq -1$

$a_n \oint (z-z_0)^n \, dz = 0$

Для $n = -1$

$a_{-1} \oint \frac{1}{(z-z_0)} \, dz = 2 \pi i$

Вычет функции $f(z)$ в изолированной особой точке $z_0$ равен коэффициенту при $n = -1$ лорановского разложения.

$Res(z_0) = a_{-1} = \frac{1}{2\pi i } \oint\limits_\Gamma f(z) \, dz$

Для разложения функции в ряд Лорана, используют следующие разложения элементарных функций,

$e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + .. + \frac{z^n}{n!} = \sum_{n = 0}^\infty \frac{z^n}{n!}$

$\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} -.. + (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n + 1)!} = \sum_{n = 0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n + 1}}{(2n + 1)!}$

$\cos z = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} -.. + (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n = 0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}$

$\frac{1}{1+z}= 1 - z + z^2 -...+ (-1)^n z^n = \sum_{n = 0}^\infty (-1)^n z^n$

$\frac{1}{1+z^2}= 1 - z^2 + z^4 -...+ (-1)^n z^{2n} = \sum_{n = 0}^\infty (-1)^n z^{2n}$

$ln(1+z)= \sum_{n = 1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{z^n}{n}$

Несобственный интеграл действительных чисел вида $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx$ , может быть вычислен с помощью контурного интеграла. Рассмотрим вначале случай, когда предел интегрирования образует конечный отрезок $[-R;+R]$ на реальной оси. Достроим в верхней положительной мнимой оси, полуокружность радиусом $R$ .

Если интеграл по $\Gamma_R$ при устремлении $R \to \infty$ стремится к нулю, тогда интеграл $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx$ равен сумме вычетов функции $f(z)$ в особых точках, лежащих в верхней полуплоскости, умноженной на $2\pi i$ .

Вычислим интеграл,

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2 + x + 1} \, dx$

Рассмотрим подынтегральное выражение как комплексную функцию,

$f(z) = \frac{1}{z^2 + z + 1}$

Разложим знаменатель на множители, решая квадратное уравнение,

$z^2 + z + 1 = 0$

$D = b^2 - 4ac = 1 - 4 = -3$

$z_1 = \frac{-b + \sqrt D}{2a} = \frac{-1 + i \sqrt 3}{2}$

$z_2 = \frac{-b - \sqrt D}{2a} = \frac{-1 - i \sqrt 3}{2}$

$z^2 + z + 1 = a (z - z_1) (z - z_2) = \Bigg(z - \frac{-1 + i \sqrt 3}{2} \Bigg)\Bigg(z - \frac{-1 - i \sqrt 3}{2} \Bigg)$

Максимальная степень множителей в знаменателе равна $m = 1$ , следовательно определенных две особых точки являются полюсами первого порядка или простыми полюсами. Из двух полюсов, нас интересует только полюс, расположенный в верхней положительной мнимой оси,

$z_1 = \frac{-1 + i \sqrt 3}{2}$

Для простого полюса, удобно найти вычет через производную знаменателя,

$Res(z_1) = \frac{p(z)}{q'(z)} = \frac{1}{2z + 1} = \frac{1}{-1 + i \sqrt 3 + 1} = \frac{1}{i \sqrt 3}$

Предполагая, что интеграл по верхней полуокружности равен нулю, интеграл будет равен,

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2 + x + 1} \, dx = 2\pi i \cdot \frac{1}{i \sqrt 3} = \frac{2 \pi}{\sqrt 3}$

Доказательно равенства нулю интеграла по $\Gamma_R$ может строится следующим образом. Представим функцию $f(z)$ в виде,

$f(z) = \frac{1}{z^2 + z + 1} = \frac{1}{z^2} \cdot \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{z^2}} = \frac{1}{z^2} \cdot h(z)$

Функция $h(z) \to 1$ при $z \to \infty$ , для достаточно больших значений $z$ будет выполнятся $| h(z) | < 2$ , поэтому

$|f(z)| = \Bigg |\frac{1}{z^2} \cdot h(z) \Bigg| < \Bigg |\frac{2}{z^2} \Bigg|$

Параметрическое уравнение верхней полуокружности представим в комплексной показательной форме,

$z = R \cdot e^{i \varphi}, 0<= \varphi <= \pi$

Модуль уравнения полуокружности равен радиусу $| z | = R$ .

Найдем производную,

$(z)'= (R \cdot e^{i \varphi})'$

$dz = i R \cdot e^{i \varphi} d \varphi$

Модуль производной $|dz| = R d \varphi$ .

Следовательно, для достаточно больших $R$ ,

$\Bigg | \int\limits_{\Gamma_R} f(z) \, dz \Bigg | \leq \int\limits_{\Gamma_R} |f(z)| \, |dz| \leq \int\limits_{\Gamma_R} \frac{2}{|z^2|} \, |dz| = \int_0^\pi \frac{2}{R^2} \, R d \varphi = \frac{2\pi}{R}$

Переходя к пределу $R\to \infty$ доказывается положение о равенстве нулю интеграла по полуокружности.

$\lim_{R\to\infty} \int\limits_{\Gamma_R} f(z) \, dz = 0$

Ход доказательства строится на появлении в знаменателе $|z^2|$ . Если степень при $z$ будет меньше чем 2, тогда в знаменателе не образуется $R$ и цепочка рассуждений прерывается.

Положение о равенстве нулю интеграла по полуокружности не требует обоснования для следующего важного класса функций.

Лемма Жордана Если функция $f(z)$ аналитична в полуплоскости $Im(z)>= -a$ за исключением изолированных особых точек и $\lim_{z\to\infty}f(z) = 0$ , тогда

$\lim_{R\to\infty} \int\limits_{\Gamma_R} e^{itz} f(z) \, dz = 0, t > 0$

где под $\Gamma_R$ принимается дуга окружности $|z| = R$ , расположенная в полуплоскости $Im(z) >= -a$ .

Лемма Жордана может быть переформулирована и для расположения полуплоскости в $Re(z) <= a$ . В таком виде, лемма имеет важное значение для обратного преобразования Лапласа.

Полезным материалом для понимания послужили три видео с канала «Шиз поясняет».

Шиз поясняет. ТФКП 1.01. Контурные интегралы
Шиз поясняет. ТФКП 2.02. Особые точки и вычеты
Шиз поясняет. ТФКП 3.03. Вещественные интегралы через вычеты

Лекции кафедры высшей математики ЮЗГУ, Хохлова Н.А.

Лекция 1 (ТФКП. Основные понятия)
Лекция 2 (ТФКП. Ряды Тейлора и Лорана)
Лекция 3 (Ряды Лорана. Вычеты)

Частично видео лекции МГУ, которые меня раздражали лектором стендапером,

Курс «Теория функций комплексного переменного», физфак МГУ

Книги:

The Laplace Transform Theory and Applications (1999) Joel L. Schiff
Advanced Engineering Mathematics, Seventh Edition (2012) Peter V. O’Neil
Essential Mathematical Methods for Physicists (2003) Hans J. Weber, George B. Arfken
Математические методы в физике (1970) Г.Арфкен, Атомиздат
Основы теории функции комплексного переменного и операционного исчисления (2002) Эйдерман В.Я.

Практическое моделирование

Добавить комментарий Отменить ответ

Комментарии

Архивы