Векторный анализ

Величины, для определения которых достаточно знать одно число, называются скалярами. Величины, которые характеризуются дополнительно также и направлением в пространстве, называются векторами. Многие величины имеют ещё более сложную структуру, для определения которых недостаточно знать значение и направление. Они называются тензорами второго и более высших рангов.

Вектор $\vec{A}$ изображается отрезком прямой, направление которого определяет направление рассматриваемой величины, а длина в выбранном масштабе характеризует её численное значение, называемое модулем вектора $|\vec{A}|$ .

Вектор обозначается либо прямым жирным шрифтом ( $\textbf{V}$ ), либо отмечается стрелкой ( $\vec{V}$ ).

Суммой векторов $\vec{A} + \vec{B}$ называют новый вектор $\vec{C}$ представляющий замыкающую многоугольника, построенного на слагаемых векторах. Если под слагаемыми векторами понимать перемещения некоторой точки, тогда сумма векторов дает общее перемещение точки.

Скалярным произведением векторов (dot product) называют число $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos (\vec{A}, \vec{B})$ которое можно вычислит также и через проекции векторов $\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$ . Для единичных векторов (орт) выполняются соотношения $\textbf{i} \cdot \textbf{i} = 1$ .

Умножение вектора на скаляр $\vec{B} = m\vec{A}$ представляет собой новый вектор $\vec{B}$ , длина которого в $m$ раз больше длины вектора $\vec{A}$ , знак умножения при этом не используется.

Векторным произведением (cross product) двух векторов $\vec{A} \times \vec{B}$ называют новый вектор $\vec{C}$ , направленный перпендикулярно плоскости векторов сомножителей, образуя с ними правую систему координат. Модуль вектора $|\vec{C}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin (\vec{A}, \vec{B})$ .

Векторное произведение удобно записать в виде определителя, разложение которого по верхней строке дает три компоненты $\vec{C}$ ,

$\begin{equation*} \vec{A} \times \vec{B} = \begin{pmatrix} \textbf{i} &\textbf{j} &\textbf{k} \\ A_x &A_y &A_z \\ B_x &B_y &B_z \end{pmatrix} \end{equation*}$

Двойное векторное произведение (triple vector product) вычисляется по правилу,

$\begin{equation*} \vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B} (\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{C} (\vec{A} \cdot \vec{B}) \end{equation*}$

Градиент

Если каждой точке пространства однозначно сопоставлен некоторый скаляр или вектор, то говорят что задано скалярное или векторное поле. Рассмотрим скалярную функцию $\varphi(x,y,z)$ . Определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных. Этот вектор называется градиентом функции $\varphi$ ,

$\nabla \varphi = \textbf{i} \, \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \textbf{j} \, \frac{\partial \varphi}{\partial y} + \textbf{k} \, \frac{\partial \varphi}{\partial z}$

Полный дифференциал (total variation) изменения функции $\varphi$ запишется как,

$d \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x} \, dx + \frac{\partial \varphi}{\partial y} \, dy + \frac{\partial \varphi}{\partial z} \, dz$

Полный дифференциал можно представить как скалярное произведение градиента функции на приращение радиус-вектора $\textbf{r}$ ,

$d \varphi = \nabla \varphi \cdot d\bf{r}$

$d \textbf{r} = \textbf{i} \, dx + \textbf{j} \, dy + \textbf{k} \, dz$

При перемещении точки, длина вектора $d\bf{r}$ минимальна, когда вектор перемещения $\bf{r}$ параллелен $\nabla \varphi$ . Поэтому градиент $\nabla \varphi$ это вектор, направленный по нормали к поверхности уровня и указывающий направление максимальной скорости изменения функции $\varphi$ .

Оператор Гамильтона

$\nabla$ (набла) это векторный дифференциальный оператор,

$\nabla = \textbf{i} \, \frac{\partial}{\partial x} + \textbf{j} \, \frac{\partial}{\partial y} + \textbf{k} \, \frac{\partial}{\partial z}$

обозначает операцию дифференцирования, которая должна быть проведена над скалярной функцией $\varphi$ . Действие оператора на скалярное поле генерирует векторное поле градиентов.

Оператор обладает свойством векторов и подчиняется законам частного дифференцирования. Например, для двух скалярных функций $u$ и $v$ ,

$\nabla(uv) = v \nabla u + u \nabla v$

$\nabla \left (\frac{u}{v} \right ) = \frac{v \nabla u - u \nabla v}{v^2}$

Дивергенция

Рассмотрим скалярное умножение векторного оператора $\nabla$ на вектор $\textbf{V}$ ,

$\nabla \cdot \textbf{V} = \left (\textbf{i} \, \frac{\partial}{\partial x} + \textbf{j} \, \frac{\partial}{\partial y} + \textbf{k} \, \frac{\partial}{\partial z} \right ) \cdot \left (\textbf{i} \, V_x + \textbf{j} \, V_y + \textbf{k} \, V_z \right ) = \frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z}$

которое называется дивергенцией вектора $\textbf{V}$ .

Рассмотрим уравнение неразрывности, в котором задана векторная функция скорости течения жидкости $\textbf{v}(x, y, z)$ и скалярная функция плотности жидкости в точке $\rho(x, y, z)$ ,

$\nabla \cdot (\rho \textbf{v}) + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$

Если дивергенция вектора $(\rho \textbf{v})$ больше нуля, тогда элементарный объем служит «источником» массового потока, плотность жидкости внутри объема уменьшается, если дивергенция меньше нуля — тогда плотность внутри объема растет, элементарный объем поглощает массу. Если дивергенция равна нулю, значит массовый поток на выходе объема равен потоку на входе, наблюдается стационарное течение, плотность жидкости не меняется.

В общем виде, дивергенция вектора умноженного на скалярную функцию $f$ , имеет тот же вид, что и формула для производной от произведения.

$\nabla \cdot (f \textbf{V}) = \frac{\partial}{\partial x} \, (fV_x) + \frac{\partial}{\partial y} \, (fV_y) + \frac{\partial}{\partial z} \, (fV_z) =$

$= \frac{\partial f}{\partial x} \, V_x + f \, \frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \, V_y + f \, \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z} \, V_z + f \, \frac{\partial V_z}{\partial z} =$

$= (\nabla f) \cdot \textbf{V} + f \nabla \cdot \textbf{V}$

Если дивергенция вектора $\vec{V}$ равна нулю, такой вектор называют соленоидальным.

Ротор (Сurl)

Ещё одна возможная операция с оператором набла это векторное умножение на вектор.

$\begin{equation*} \nabla \times \textbf{V} = \begin{pmatrix} \textbf{i} &\textbf{j} &\textbf{k} \\ \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}& \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \\ V_x &V_y &V_z \end{pmatrix} \end{equation*}$

Полученный вектор называется ротором вектора $\textbf{V}$ . Название ротор связано с тем, что $\nabla \times \textbf{V}$ описывает вращение векторного поля $\textbf{V}$ вокруг точки, для которой вычисляется ротор.

Если $\nabla$ векторно умножается на произведение вектора и скаляра, можно записать выражение аналогичное полученное при рассмотрении дивергенции,

$\nabla \times (f \textbf{V}) = f \,\nabla \times \textbf{V} + (\nabla f) \times \textbf{V}$

Если ротор вектора $\vec{V}$ равен нулю, такой вектор называют безвихревым.

Последовательное применение оператора Гамильтона

Определив понятие градиент, дивергенция и ротор можно получить новые выражения последовательно действуя на введенные величины оператором $\nabla$ . Все они содержат вторые производные и часто используются в дифференциальных уравнениях второго порядка.

Первая из них — дивергенция градиента, называется лапласианом функции $\varphi$ ,

$\nabla \cdot \nabla\varphi = \textrm{div} \, \textrm{grad} \, \varphi = (\textbf{i} \, \frac{\partial}{\partial x} + \textbf{j} \, \frac{\partial}{\partial y} + \textbf{k} \, \frac{\partial}{\partial z}) \cdot (\textbf{i} \, \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \textbf{j} \, \frac{\partial \varphi}{\partial y} + \textbf{k} \, \frac{\partial \varphi}{\partial z} ) =$

$=\frac{\partial^2 \varphi }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2}$

Комбинацию $\nabla \cdot \nabla$ обозначают $\nabla^2$ или символом $\Delta$ .

Вторая операция — ротор градиента можно записать как,

$\begin{equation*} \nabla \times \nabla\varphi = \textrm{rot} \, \textrm{grad} \, \varphi = \begin{pmatrix} \textbf{i} &\textbf{j} &\textbf{k} \\ \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}&\displaystyle \frac{\partial}{\partial z}\\ \displaystyle \frac{\partial \varphi }{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial \varphi }{\partial y} &\displaystyle\frac{\partial \varphi }{\partial z} \end{pmatrix} \end{equation*}$

Раскрывая определитель, получим

$\begin{equation*} \nabla \times \nabla\varphi = \textbf{i} \left(\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z \partial y} \right ) + \textbf{j} \left (\frac{\partial^2 \varphi}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x \partial z} \right ) + \textbf{k} \left (\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y \partial x} \right ) = 0 \end{equation*}$

Следовательно градиент это безвихревой вектор.

Третья операция — дивергенция ротора вектора $\textbf{V}$ ,

$\begin{equation*} \nabla \cdot \nabla \times \textbf{V} = \textrm{div} \, \textrm{rot} \, \textbf{V} = \begin{pmatrix} \textbf{i} &\textbf{j} &\textbf{k} \\ \displaystyle\frac{\partial}{\partial x} &\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}& \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\\ V_x & V_y& V_z \end{pmatrix} \end{equation*}$

Раскрывая определитель получим, что

$\nabla \cdot \nabla \times \textbf{V} = 0$

Таким образом, ротор всегда соленоидальный вектор.

Четвертая операция — это векторный лапласиан (дивергенция градиента векторной функции), который сводится к векторной сумме обычных скалярных лапласианов,

$\nabla \cdot \nabla\vec{V} = \textrm{div} \, \textrm{grad} \, \textbf{V} = \textbf{i} \, \nabla^2 V_x + \textbf{j} \, \nabla^2 V_y + \textbf{k} \, \nabla^2 V_z$

И последняя встречаемая операция это ротор от ротора вектора $\textbf{V}$ , который раскрывается через правило нахождения двойного векторного произведения,

$\nabla \times (\nabla \times \textbf{V}) = \textrm{rot} \, \textrm{rot} \, \textbf{V} = \nabla (\nabla \cdot \textbf{V}) - (\nabla \cdot \nabla)\textbf{V}$

Интегрирование векторов

Начнем рассмотрение сначала с линейного интегрирования, затем перейдем к поверхностным и объемным интегралам. Используя приращение длины $d\textbf{r} = \textbf{i} \, dx + \textbf{j} \, dy + \textbf{k} \, dz$ , можно определить следующие интегралы,

$\lim_{|\Delta r_i| \to 0} \, \sum_{i = 1}^{n} {\varphi_i \Delta r_i} = \int\limits_C \varphi \, d\textbf{r}$

$\lim_{|\Delta r_i| \to 0} \, \sum_{i = 1}^{n} {\textbf{V}_i \cdot \Delta r_i} = \int\limits_C \textbf{V} \cdot d\textbf{r}$

$\lim_{|\Delta r_i| \to 0} \, \sum_{i = 1}^{n} {\textbf{V}_i \times \Delta r_i} = \int\limits_C \textbf{V} \times d\textbf{r}$

Интеграл со скалярной функцией, как собственно и остальные интегралы, сводятся к обычным интегралам,

$\int\limits_C \varphi d\textbf{r} = \textbf{i} \int\limits_C \varphi(x,y,z) dx + \textbf{j} \, \int\limits_C \varphi(x,y,z) dy + \textbf{k} \, \int\limits_C \varphi(x,y,z) dz$

Такое разбиение допустимо только для прямоугольных координат, для криволинейных координат запись выглядит иначе. При интегрировании по переменной, например, $x$ необходимо знать зависимость $y$ и $z$ от $x$ и так далее для следующих переменных.

Проинтегрируем двухмерную скалярную функцию $r^2 = x^2 + y^2$ от начала координат до точки $(1, 1)$ используя два варианта построения контура интегрирования,

Для первого случая,

$\int\limits_C \varphi d\textbf{r} = \textbf{i} \int_{0}^{1} (x^2 + y^2) dx + \textbf{j} \, \int_{0}^{1} (x^2 + y^2) dy =$

используем зависимость $y = x$ для интеграла по $x$ и $x = y$ для интеграла по $y$ ,

$= \textbf{i} \int_{0}^{1} (x^2 + x^2) dx + \textbf{j} \, \int_{0}^{1} (y^2 + y^2) dy = \textbf{i} \left (2\cdot \frac{x^3}{3} \Bigg |_0^1 \right ) + \textbf{j} \left (2 \cdot \frac{y^3}{3} \Bigg |_0^1 \right ) = \textbf{i} \left (\frac{2}{3} \right ) + \textbf{j} \left (\frac{2}{3} \right )$

Для второго случая, используем зависимость $y = 0$ для интеграла $x$ и $x = 1$ для интеграла по $y$ ,

$\int\limits_C \varphi d\textbf{r} = \textbf{i} \int_{0}^{1} x^2 dx + \textbf{j} \, \int_{0}^{1} (1 + y^2) dy = \textbf{i} \left (\frac{1}{3} \right ) + \textbf{j} \left (\frac{4}{3} \right )$

Таким образом, значение интеграла зависит от выбора контура интегрирования.

Интеграл от скалярного умножения векторов преобразуется к обычному интегралу через проекции вектора,

$\int\limits_C \textbf{V} \cdot d\textbf{r} = \int V_x(x,y,z)dx + \int V_y(x,y,z)dy + \int V_z(x,y,z)dz$

Интеграл от векторного умножения, преобразуется к обычному интегралу раскрывая определитель,

$\int\limits_C \textbf{V} \times d\textbf{r} = \textbf{i} \, \int\limits_C \begin{vmatrix} V_y & V_z \\ dy &dz \end{vmatrix} -\textbf{j} \, \int\limits_C \begin{vmatrix} V_x & V_z \\ dx &dz \end{vmatrix} +\textbf{k} \, \int\limits_C \begin{vmatrix} V_x & V_y \\ dx &dy \end{vmatrix} =$

$= \textbf{i} \, \int\limits_C (V_y dz - V_z dy) -\textbf{j} \, \int\limits_C (V_x dz - V_z dx) +\textbf{k} \, \int\limits_C (V_x dy - V_y dx)$

Поверхностные интегралы записываются так же как и линейные, только $d\textbf{r}$ заменяют вектором $d \vec{\sigma}$ . Часто этот элемент поверхности записывают в виде $\textbf{n} d \textbf{A}$ , где $\textbf{n}$ — единичный вектор нормали положительного направления.

Если поверхность замкнута, то положительным называют направление из объема. Если поверхность не замкнута, положительное направление выбирается против часовой стрелки по направлению обхода периметра.

Объемные интегралы несколько проще, так как элемент объема $d\tau$ является скалярной величиной. В этом случае, объемный интеграл распадается на векторную сумму интегралов от скалярных величин.

$\int\limits_V \textbf{V} \, d{\tau} = \textbf{i} \, \int\limits_V V_x \, d{\tau} + \textbf{j} \, \int\limits_V V_y \, d{\tau} + \textbf{k} \, \int\limits_V V_z \, d{\tau}$

С помощью поверхностных и объемных интегралов можно иначе определить дифференциальные соотношения.

$\nabla \varphi = \textrm{grad} \, \varphi = \lim_{\int d\tau \to 0} \frac{\int \varphi d\vec{\sigma}}{\int d\tau}$

$\[ \nabla \cdot \textbf{V} = \textrm{div} \, \textbf{V} = \lim_{\int d\tau \to 0} \frac{\int \textbf{V} \cdot d\vec{\sigma}}{\int d\tau}$

$\nabla \times \textbf{V} = \textrm{rot} \, \textbf{V} = \lim_{\int d\tau \to 0} \frac{\int d\vec{\sigma} \times \textbf{V}}{\int d\tau}$

В этих трех уравнениях под $\int d\tau$ понимается некоторый малый объем пространства.

Теорема Гаусса

Теорема Гаусса связывает объемный интеграл от дивергенции функции с интегралом по замкнутой поверхности, ограничивающей объем,

$\int\limits_{S} \textbf{V} \cdot d\vec{\sigma} = \int\limits_{V} \nabla \cdot \textbf{V} \, d\tau$

Правая часть уравнения, равна полному количеству жидкости, вытекшей из объема $V$ по которому ведется интегрирование. Левая часть уравнения, описывает поток жидкости через поверхность $S$ , которая ограничивает данный объем.

Рассмотрим две скалярных функции $u$ и $v$ , для которых можно записать,

$\nabla \cdot (u \nabla v) = (\nabla u) \cdot (\nabla v) + u \nabla \cdot \nabla v$

$\nabla \cdot (v \nabla u) = (\nabla v) \cdot (\nabla u) + v \nabla \cdot \nabla u$

Вычтем одно уравнение из другого,

$\nabla \cdot (u \nabla v) - \nabla \cdot (v \nabla u) = u \nabla \cdot \nabla v - v \nabla \cdot \nabla u$

Проинтегрируем по объему,

$\int\limits_V (\nabla \cdot u \nabla v - \nabla \cdot v \nabla u) d\tau = \int\limits_V (u \nabla \cdot \nabla v - v \nabla \cdot \nabla u) d\tau$

Применив к левой части теорему Гаусса, получим теорему Грина,

$\int\limits_S (u \nabla v - v \nabla u) \cdot d\vec{\sigma} = \int\limits_V (u \nabla \cdot \nabla v - v \nabla \cdot \nabla u) d\tau$

Другая форма теоремы Грина может быть получена например из исходного уравнения,

$\nabla \cdot (u \nabla v) = (\nabla u) \cdot (\nabla v) + u \nabla \cdot \nabla v$

$\int\limits_V \nabla \cdot (u \nabla v) d\tau = \int\limits_V (\nabla u) \cdot (\nabla v) d\tau + \int\limits_V u \nabla \cdot \nabla v d\tau$

$\int\limits_S u \nabla v \cdot d\vec{\sigma} = \int\limits_V (\nabla u) \cdot (\nabla v) d\tau + \int\limits_V u \nabla \cdot \nabla v d\tau$

Теорема Стокса

Определим работу, которую совершает векторное поле $\textbf{V}$ при циркуляции жидкости по замкнутому контуру,

$A = \int_1 V_x(x, y) d\lambda_x + \int_2 V_y(x, y) d\lambda_y + \int_3 V_x(x, y) d\lambda_x + \int_4 V_y(x, y) d\lambda_y$

Для ориентированного элементарного участка $d\vec\sigma$ размером $dx$ на $dy$ , значения проекций векторной функции $\textbf{V}$ на гранях можно найти раскладывая в ряд Маклорена,

$V_y(x_0 + dx, y_0) = V_y(x_0, y_0) + \frac{\partial V_y}{\partial x} dx + ...$

$V_x(x_0, y_0 + dy) = V_x(x_0, y_0) + \frac{\partial V_x}{\partial y} dy + ...$

и учитывая направление интегрирования,

$A = V_x(x_0, y_0) dx + \left(V_y(x_0, y_0) + \frac{\partial V_y}{\partial x} dx \right) dy - \left (V_x(x_0,y_0) + \frac{\partial V_x}{\partial y} dy \right) dx - V_y(x_0, y_0) dy =$

$= \left (\frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \right ) dxdy$

Поделив на площадь, получим что удельная циркуляция определяется компонентой $z$ ротора,

$\frac{A}{dxdy} = \nabla \times \textbf{V} |_z$

Или же,

$\sum_{n=1}^4 \textbf{V} \cdot d\vec\lambda = \nabla \times \textbf{V} \cdot d\vec\sigma$

Суммируя по всем элементарным участкам составляющим поверхность,

$\oint_{\partial S} \textbf{V} \cdot d\vec\lambda = \int_S \nabla \times \textbf{V} \cdot d\vec\sigma$

получим теорему Стокса. Поверхностный интеграл справа берется по поверхности ограниченной периметром или контуром линейного интеграла слева.

Теория потенциала

Если некоторую силу в области пространства $S$ можно выразить в виде отрицательного градиента скалярной функции $u$ ,

$\textbf{F} = - \nabla u$

тогда $u$ называют скалярным потенциалом.

Условия существования скалярного потенциала, задаются двумя соотношениями,

$\nabla \times \textbf{F} = 0$

$\oint \textbf{F} \cdot d\textbf{r}= 0$

Работа при перемещении точки по замкнутому контуру равна нулю, благодаря этому сила называется консервативной — энергия сохраняется. Для незамкнутого контура, работа зависит только от концевых точек и не зависит от пути,

$\int_A^B \textbf{F} \cdot d\textbf{r}= u(A) - u(B)$