Векторный анализ

Величины, для определения которых достаточно знать одно число, называются скалярами. Величины, которые характеризуются дополнительно также и направлением в пространстве, называются векторами. Многие величины имеют ещё более сложную структуру, для определения которых недостаточно знать значение и направление. Они называются тензорами второго и более высших рангов. Вектор изображается отрезком прямой, направление которого определяет направление рассматриваемой величины, а […]

Производные, частные производные и дифференциал

Рассмотрим функцию определенную в некотором промежутке. Аргумент получая некоторое приращение , приводит к изменению функции на величину ,     Составим отношение приращения функции к приращению аргумента,     Если предел при стремлении существует, то его называют производной функции,     Конкретное значение производной при обозначается или . Возьмем на кривой произвольную точку и проведем […]

Комплексные числа, функции и вычеты

Комплексным числом называется выражение , где и это вещественные числа, а мнимая единица обладает свойством . Арифметика комплексных чисел определяется привычным образом, Равенство, , только когда и Сложение, Умножение, Комплексная плоскость позволяет представить комплексное число как точку прямоугольной, декартовой системы координат. Горизонтальная ось называется реальной осью (Re), а вертикальная ось соответственно мнимой осью (Im). Комплексное […]

Уравнение Бесселя

При решении многих задач математической физики приходят к линейному уравнению Бесселя,     Решение уравнения следует искать не в форме степенного ряда, а в виде произведения некоторой степени на степенной ряд,     которое можно переписать в виде,     Найдем производные,         Подставим в уравнение,     Раскроем первые несколько членов, […]

Ряд Тейлора

Определение Предположим, что функция имеет непрерывную производную порядка в интервале , тогда интегрирование даст следующее понижение порядка,     Повторим интегрирование полученного результата,         И еще раз,         Наконец, после кратного интегрирования можно добраться и до самой функции,     Вложенный интеграл слева называется остаточным членом,     Привлекая […]

Преобразование Лапласа

Определение Преобразование Лапласа функции определяется как,     Интегрирование проводится по переменной и определяет новую функцию с переменной , которая выбирается таким образом, чтобы интеграл сходился. Для сокращения нотации, вместо будем иногда использовать заглавную букву функции. Например, преобразование Лапласа функции кратко запишем как . Пусть задана функция где это действительное число, преобразование Лапласа такой функции […]